Eigenschaften des Vektorprodukts

Unter dem Vektorprodukt $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}$ zweier Vektoren $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{b}$ versteht man den im Raum durch die folgenden drei Bedingungen charakterisierten Vektor $\overrightarrow{v}$:

Aus dieser Definition ergibt sich, dass der Betrag des Vektorprodukts zweier Vektoren gleich der Inhaltsmaßzahl des von ihnen aufgespannten Parallelogramms ist.

Für das Vektorprodukt gelten die folgenden Rechengesetze :

1. $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\left(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}\right)$ bzw. $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{a}$
   (Alternativgesetz)
2. $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}$
   (Distributivgesetz)
3. $\lambda \left(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right)=\left(\lambda \overrightarrow{a}\right)\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times \left(\lambda \overrightarrow{b}\right)\left(\lambda \in ℝ\right)$
   (Multiplikation mit einer reellen Zahl)

Anmerkung: Das Assoziativgesetz trifft im Allgemeinen nicht zu.

Aufgrund der Definition des Vektorprodukts gilt $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{o}$ genau dann, wenn $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{b}$ linear abhängig sind.

Dies korrespondiert mit der oben angegebenen Deutung des Betrags des Vektorprodukts als Inhaltsmaßzahl eines Parallelogramms: Sind $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{b}$ linear abhängig, so ist $\sphericalangle \left(\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}\right)$ gleich $0°oder180°$, und das von $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{b}$ aufgespannte Parallelogramm entartet zu einer Strecke.

Nun soll das Vektorprodukt von $\overrightarrow{a}und\overrightarrow{b}$ von für den Fall bestimmt werden, dass die beiden Vektoren durch ihre Koordinaten bezüglich eines räumlichen kartesischen Koordinatensystems gegeben sind.

Für die in Koordinatendarstellung gegebenen Vektoren
$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)=a_x\overrightarrow{e_1}+a_y\overrightarrow{e_2}+a_z\overrightarrow{e_3}$ und
$\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)=b_x\overrightarrow{e_1}+b_y\overrightarrow{e_2}+b_z\overrightarrow{e_3}$
gilt dann:
$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(a_x\overrightarrow{e_1}+a_y\overrightarrow{e_2}+a_z\overrightarrow{e_3}\right)\times \left(b_x\overrightarrow{e_1}+b_y\overrightarrow{e_2}+b_z\overrightarrow{e_3}\right)$

Unter Verwendung des Distributivgesetzes des Vektorprodukts erhält man:
$\begin{array}{c}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=a_x{b}_x\left(\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_1}\right)+a_x{b}_y\left(\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_2}\right)+a_x{b}_z\left(\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_3}\right)\\ =a_y{b}_x\left(\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_1}\right)+a_y{b}_y\left(\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_2}\right)+a_y{b}_z\left(\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_3}\right)\\ =a_z{b}_x\left(\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_1}\right)+a_z{b}_y\left(\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_2}\right)+a_z{b}_z\left(\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_3}\right)\end{array}$

Wegen
$\begin{array}{l}\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{0};\\ \overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_2}=\overrightarrow{e_3};\overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_3}=\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_1}=\overrightarrow{e_2};\\ \overrightarrow{e_2}\times \overrightarrow{e_1}=-\overrightarrow{e_3};\overrightarrow{e_3}\times \overrightarrow{e_2}=-\overrightarrow{e_1};\overrightarrow{e_1}\times \overrightarrow{e_3}=-\overrightarrow{e_2}\end{array}$

folgt daraus:
$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left(a_y{b}_z-a_z{b}_y\right)\overrightarrow{e_1}+\left(a_z{b}_x-a_x{b}_z\right)\overrightarrow{e_2}+\left(a_x{b}_y-a_y{b}_x\right)\overrightarrow{e_3}$

Unter Verwendung der Matrizen- bzw. Determinantenschreibweise lässt sich dieses Ergebnis für das Vektorprodukt übersichtlich notieren.

• Sind
  $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\\ a_z\end{array}\right)und\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}{b}_x\\ b_y\\ b_z\end{array}\right)$
  zwei Vektoren im Raum, so gilt:
  $\begin{array}{l}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e_1}& \overrightarrow{e_2}& \overrightarrow{e_3}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|\\ =\left(a_y{b}_z-a_z{b}_y\right)\overrightarrow{e_1}+\left(a_z{b}_x-a_x{b}_z\right)\overrightarrow{e_2}+\left(a_x{b}_y-a_y{b}_x\right)\overrightarrow{e_3}\\ =\left(\begin{array}{c}{a}_y{b}_z-a_z{b}_y\\ a_z{b}_x-a_x{b}_z\\ a_x{b}_y-a_y{b}_x\end{array}\right)\end{array}$

Anmerkung: Natürlich ist die im obigen Satz verwendete Schreibweise im engeren Sinne keine Determinante, da $\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2},\overrightarrow{e_3}$ keine reellen Zahlen sind. Diese Schreibweise eignet sich hier aber zu einer übersichtlichen Darstellung.

Als geometrische Anwendungen des Vektorprodukts sind neben der genannten Flächeninhaltsberechnung beispielsweise das Bestimmen des Schnittwinkels zweier Ebenen, das Ermitteln des Normalenvektors einer Ebene oder das Berechnen des Abstands zweier windschiefer Geraden zu nennen.

• Beispiel: Es ist der Normaleneinheitsvektor der Ebene mit
  $\epsilon \text{:}\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}2\\ -1\\ 3\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 5\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$
  zu ermitteln.

Wir bilden dazu das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren
$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 5\end{array}\right)und\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\\ -1\end{array}\right)$ von $\epsilon$
und dividieren den so erhaltenen Vektor (der senkrecht zu $\epsilon$ ist) durch seinen Betrag:
$\begin{array}{c}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{e_1}& \overrightarrow{e_2}& \overrightarrow{e_3}\\ 2& 1& 5\\ -2& 3& -1\end{array}\right|=-16\overrightarrow{e_1}-8\overrightarrow{e_2}+8\overrightarrow{e_3}=\left(\begin{array}{c}-16\\ -8\\ 8\end{array}\right)\\ {\overrightarrow{n}}^0=\frac{\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\right|}=\frac{1}{\sqrt{384}}\left(\begin{array}{c}-16\\ -8\\ 8\end{array}\right)=\frac{1}{6}\sqrt{6}\left(\begin{array}{c}-2\\ -1\\ 1\end{array}\right)\end{array}$

Verwendet man zur Berechnung von ${\overrightarrow{n}}^0$ einen Grafiktaschenrechner mit Computeralgebrasystem, so erhält man mit den Funktionen crossP (für Vektorprodukt) und norm (für Betrag) das in der folgenden Abbildung wiedergegebene Ergebnis. Dabei könnte noch auf das Ausweisen des Zwischenschritts in Zeile 1 verzichtet werden.