Mittelpunkt einer Strecke

In beiden Fällen werden die Punkte $P_{1}und{P}_2$ durch ihre Ortsvektoren ${\overrightarrow{p}}_{1}bzw.{\overrightarrow{p}}_2$ (bezüglich O, dem Koordinatenursprung) beschrieben.

Wir berechnen nun zunächst den Ortsvektor $\overrightarrow{m}$ des Mittelpunktes M. Entsprechend der folgenden Abbildung gilt:
$\overrightarrow{m}={\overrightarrow{p}}_1+\overrightarrow{P_{1}M}={\overrightarrow{p}}_1+\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{p}}_2-{\overrightarrow{p}}_1\right)=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2\right)$

Die Gleichung $\overrightarrow{m}=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2\right)$ ist die vektorielle Mittelpunktsgleichung, gültig für die Ebene und den Raum.

Unter Verwendung der Koordinaten der Ortsvektoren folgt hieraus im ebenen Fall, also mit
${\overrightarrow{p}}_1=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)$ und ${\overrightarrow{p}}_2=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)$
für die Koordinaten $x_{m}und{y}_m$ des Vektors $\overrightarrow{m}$:
$\overrightarrow{m}=\left(\begin{array}{c}{x}_m\\ y_m\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2\right)=\frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\\ \frac{1}{2}\left(y_1+y_2\right)\end{array}\right)$

Der Koordinatenvergleich ergibt die folgende Koordinatendarstellung:
$x_m=\frac{x_1+x_2}{2},y_m=\frac{y_1+y_2}{2}$

Für den räumlichen Fall erhält man die dritte Koordinate analog. Hier gilt mit
${\overrightarrow{p}}_1=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ \begin{array}{c}{y}_1\\ z_1\end{array}\end{array}\right)$ und ${\overrightarrow{p}}_2=\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ \begin{array}{c}{y}_2\\ z_2\end{array}\end{array}\right)$
$\overrightarrow{m}=\left(\begin{array}{c}{x}_m\\ \begin{array}{c}{y}_m\\ z_m\end{array}\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left({\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2\right)=\frac{1}{2}\left(\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ \begin{array}{c}{y}_1\\ z_1\end{array}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ \begin{array}{c}{y}_2\\ z_2\end{array}\end{array}\right)\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{2}\left(x_1+x_2\right)\\ \begin{array}{c}\frac{1}{2}\left(y_1+y_2\right)\\ \frac{1}{2}\left(z_1+z_2\right)\end{array}\end{array}\right)$, woraus man $x_m=\frac{x_1+x_2}{2},y_m=\frac{y_1+y_2}{2}u\text{n}d{z}_m=\frac{z_1+z_2}{2}$ erhält.

Zusammenfassung

Für den Mittelpunkt M der Strecke $\overline{P_1{P}_2}$

• in der Ebene mit den Endpunkten $P_1\left(x_1;y_1\right)$ und $P_2\left(x_2;y_2\right)$ gilt
  $M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right);$
• im Raum mit den Endpunkten $P_1\left(x_1;y_1;z_1\right)$ und $P_2\left(x_2;y_2;z_2\right)$ gilt
  $M\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2};\frac{z_1+z_2}{2}\right)$.

Die oben dargestellte Vorgehensweise ist ebenso anwendbar, wenn nicht die Koordinaten des Mittelpunkts einer Strecke zu ermitteln sind, sondern z.B. die Koordinaten eines Punktes, der diese Strecke im Verhältnis $1:\left(n-1\right)$ teilen soll.

Wir bestimmen in diesem Fall der beliebigen Teilung einer Streckeden Vektor $\overrightarrow{m_n}$ mit
$\overrightarrow{m_n}={\overrightarrow{p}}_1+\overrightarrow{P_1{M}_n}={\overrightarrow{p}}_1+\frac{1}{n}\left({\overrightarrow{p}}_2-{\overrightarrow{p}}_1\right)=\frac{n-1}{n}{\overrightarrow{p}}_1+\frac{1}{n}{\overrightarrow{p}}_2=\frac{1}{n}\left(\left(n-1\right){\overrightarrow{p}}_1+{\overrightarrow{p}}_2\right)$.

Für den Halbierungspunkt, also für n = 2, erhält man als Spezialfall wieder das oben angeführte Resultat.