Nullstellen trigonometrischer Funktionen

Die Sinusfunktion $f\left(x\right)=\sin x(mitx\in ℝ)$ besitzt Nullstellen für alle $x\in \left\{k\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.
Der Graph der Kosinusfunktion $f\left(x\right)=\cos x(mitx\in ℝ)$ ist gegenüber dem Graphen der Sinusfunktion um $\frac{\pi }{2}$ in Richtung der negativen x-Achse verschoben. Deshalb gilt für die Nullstellen von $f\left(x\right)=\cos x$, dass das alle Werte x mit $x\in \left\{\frac{\pi }{2}+k\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$ sind.
Die Tangensfunktion $f\left(x\right)=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ hat unendlich viele Definitionslücken, nämlich gerade die Nullstellen der Kosinusfunktion. Die Nullstellen der Tangensfunktion stimmen mit den Nullstellen der Sinusfunktion überein, d.h., sie besitzt Nullstellen für alle Werte $x\in \left\{k\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Funktionen der Form $f\left(x\right)=a\cdot \sin \left(b\cdot \left(x-c\right)\right)$

Viele periodische Vorgänge lassen sich durch Funktionen der Form $f\left(x\right)=a\cdot \sin \left(b\cdot \left(x-c\right)\right)$ beschreiben. Im Folgenden soll untersucht werden, welchen Einfluss a, b und c auf die Nullstellen derartiger Funktionen nehmen.

Für beliebige $a,b,c\in ℝmita,b>0$ gilt für die Periode p von $f\left(x\right)=a\cdot \sin \left(b\cdot \left(x-c\right)\right)$:
$p=\frac{2\pi }{b}$

Den Graphen einer solchen Funktion f kann man sich aus dem Graphen der Sinusfunktion schrittweise entstanden denken:

1. Der Faktor a bewirkt eine Streckung (Stauchung) in Richtung y-Achse mit dem Faktor a, d.h., die Funktionen $f\left(x\right)=\sin x$ und $f\left(x\right)=a\cdot \sin x$ besitzen die gleichen Nullstellen.
2. Der Faktor b bewirkt eine Streckung (Stauchung) in Richtung x-Achse mit dem Faktor $\frac{1}{b}$. Das hat Einfluss auf die Nullstellen von $f\left(x\right)=\sin bx$, das sind alle x-Werte mit $x\in \left\{\frac{k\cdot \pi }{b},k\in \mathbb{Z}\right\}$.
3. Der Summand c bewirkt eine Verschiebung in Richtung x-Achse um c Einheiten, damit verschieben sich auch die Nullstellen um c.

• Beispiel 1: Es sind die Nullstellen der Funktion $\text{f(x)}=\text{2}\text{,5}\cdot \text{sin}\left(\frac{\text{1}}{\text{2}}\left(\text{x}+\pi \right)\right)$ zu bestimmen.

Der Graph der Funktion f geht aus dem Graphen der Sinusfunktion hervor durch Streckung in Richtung der y-Achse mit dem Faktor 2,5, Streckung in Richtung der x-Achse mit dem Faktor 2 sowie eine Verschiebung in Richtung der x-Achse um $\pi$ Einheiten nach links.
Man überlegt sich:

1. Die Periode von f ist $p=4\pi$.
2. Nullstellen nach Streckung in Richtung der y-Achse:
   $x\in \left\{x|x=k\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$
3. Nullstellen nach Streckung in Richtung der x-Achse:
   $x\in \left\{x|x=2k\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$
4. Nullstellen nach Verschiebung in Richtung der x-Achse:
   $x\in \left\{x|x=\left(2k-1\right)\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$

Nullstellen im Intervall $\left[0;4\pi \right]$ sind dann $x_1=\pi$ und $x_2=3\pi$.

Verkettung trigonometrischer Funktionen mit anderen Funktionen
Häufig werden Sinus- und Kosinusfunktionen mit anderen Funktionen verkettet und verknüpft. Dann sind bei der Nullstellenbestimmung goniometrische Gleichungen (trigonometrische Gleichungen) zu lösen. Im Folgenden werden dazu einige Beispiele betrachtet.

• Beispiel 2: $\text{f}\left(\text{x}\right)=\frac{\text{1}}{\text{sinx}}$

Die Funktion f hat für alle $x\in \left\{k\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, und zwar für die Nullstellen der Sinusfunktion, Definitionslücken.
Nullstellen besitzt f nicht, da die Gleichung $\frac{\text{1}}{\text{sinx}}=\text{0}$ für kein x erfüllbar ist.
Die Funktionswerte von f sind größer gleich 1 bzw. kleiner gleich $-1$.

• Beispiel 3: $\text{f(x)}=\text{sin}\frac{\text{1}}{\text{x}}(\text{x}\ne \text{0)}$

Bestimmen der Nullstellen heißt, die Gleichung $\sin \frac{1}{x}=0$ zu lösen. Setzt man $\frac{1}{x}=z$, so erhält man die Gleichung $\sin z=0$, die für alle $z=k\cdot \pi ,k\in \mathbb{Z}$ erfüllt ist. Aus $x=\frac{1}{z}$ bzw. $x=\frac{1}{k\cdot \pi },k\in \mathbb{Z}\backslash \left\{0\right\}$ folgt, dass die Funktion die Nullstellen $\frac{1}{\pi }$ und $-\frac{1}{\pi }$ hat und dazwischen unendlich viele weitere Nullstellen liegen.

• Beispiel 4: $\text{f}\left(\text{x}\right)=4{\sin }^{2}x+5\sin x-6$

Berechnen der Nullstellen im Intervall $\left[0;\pi \right]$ führt auf die folgende goniometrische Gleichung:
$4{\sin }^{2}x+5\sin x-6=0$
Mit der Substitution $\sin x=z$ erhält man:
$\begin{array}{c}{\text{4z}}^{\text{2}}+\text{5z}-\text{6}=\text{0}\\ {\text{z}}^{\text{2}}+\frac{\text{5}}{\text{4}}\text{z}-\frac{\text{3}}{\text{2}}=\text{0}\\ {\text{z}}_{\text{1;}\text{2}}=-\frac{\text{5}}{\text{8}}\pm \sqrt{\frac{\text{25}}{\text{64}}+\frac{\text{96}}{\text{64}}}=-\frac{\text{5}}{\text{8}}\pm \frac{\text{11}}{\text{8}}\\ {\text{z}}_{\text{1}}=\frac{\text{3}}{\text{4}};{\text{z}}_{\text{2}}=-\text{2}\end{array}$
Daraus folgt $\sin x=\frac{3}{4}$ und damit $x_1\approx \mathrm{0,848}$. Im Intervall $\left[0;\pi \right]$ gibt es mit $x_2=\pi -x_1\approx \mathrm{2,294}$ eine weitere Lösung. Die Gleichung $\sin x=-2$ hat keine Lösung. Damit hat f im Intervall $\left[0;\pi \right]$ zwei Nullstellen.