Punktrichtungsgleichung einer Geraden

Ein Auto möge auf einer geradlinigen Straße mit konstanter Geschwindigkeit $v=108\frac{km}{h}=30\frac{m}{s}$ fahren. Dann gilt $s=t\cdot v$, wobei s den zurückgelegten Weg und t die dazu benötigte Zeit angibt.
Unter den genannten Randbedingungen (geradlinige Straße, konstante Geschwindigkeit) kann man die Entfernung vom Ausgangspunkt der Messung zu einem Punkt $P_1$ berechnen, wenn das Auto für diese Strecke eine Zeit t = 20 s benötigt hat, es gilt:
$s=20s\cdot 30\frac{m}{s}=600m$
Auf die gleiche Weise lässt sich der zurückgelegte Weg auch für jede andere Zeit t (aus dem betrachteten Zeitintervall) ermitteln. Die Zeit t übernimmt hier die Rolle eines (reellen) Parameters, während die Geschwindigkeit v eine konstante Größe ist.

Im Unterschied zur Zeit, die allein durch ihren Betrag eindeutig beschrieben ist, sind Geschwindigkeit und Weg vektorielle Größen. Wir bezeichnen sie deshalb mit $\overrightarrow{v}bzw.\overrightarrow{s}$.
Betrachtet man nun die Straße mit dem Auto aus „genügend großer“ Entfernung, dann lässt sich die geradlinige Straße als Stück einer Geraden und das Auto als Punkt X auffassen, der sich von einem Punkt $P_0$ zu einem Punkt $P_1$ mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.

Für das Auto X kann zu jedem Zeitpunkt t (reeller Parameter) die Position auf der Geraden als Entfernung zum Punkt $P_0$ angegeben werden: Es gilt $\overrightarrow{s}=\overrightarrow{x}=t\overrightarrow{v}$, wobei jetzt $\overrightarrow{x}$ die Koordinaten des Punktes X bezüglich des gewählten Koordinatensystems angibt.

Abstrahiert man nun von den konkreten Gegebenheiten und betrachtet einen Punkt $P_0$ und einen Vektor $\overrightarrow{a}$ in der Ebene oder im Raum, so wird dadurch diejenige Gerade g eindeutig bestimmt, die durch $P_0$ geht und die Richtung von $\overrightarrow{a}$ hat.

Der Vektor $\overrightarrow{a}$ heißt dementsprechend Richtungsvektor der Geraden g. Den Punkt $P_0$ nennt man Stützpunkt (oder auch Trägerpunkt) von g und den zugehörigen Ortsvektor ${\overrightarrow{p}}_0$ dann Stützvektor der Geraden g.

Der Ortsvektor $\overrightarrow{x}$ zu einem beliebigen Punkt X auf g lässt sich unter Verwendung der obigen Überlegungen durch die folgende Gleichung beschreiben:
$\overrightarrow{x}={\overrightarrow{p}}_0+t\overrightarrow{a}\left(t\in R\right)$

In dieser Formel finden die Vektoraddition und die Vervielfachung eines Vektors mit einer reellen Zahl (einem Parameter) Anwendung. Zusammengefasst lässt sich feststellen:

• Punktrichtungsgleichung einer Geraden (Vektorform):
  Die Gerade g, die durch den Stützpunkt $P_0$ mit dem Ortsvektor ${\overrightarrow{p}}_0=\overrightarrow{O{P}_0}$ und den Richtungsvektor $\overrightarrow{a}$($\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{o}$) eindeutig bestimmt ist, kann durch die Gleichung $\overrightarrow{x}={\overrightarrow{p}}_0+t\overrightarrow{a}\left(t\in R\right)$ beschrieben werden.

Anmerkung: In Vektorform angegebene Gleichungen werden mitunter auch als vektorielle Gleichungen, Vektorgleichung oder als Gleichungen in Parameterform bezeichnet.

Durch die Wahl von beliebigen reellen Zahlen für den Parameter t erhält man jeweils die Beschreibung eines Punktes der Geraden g durch seine jeweiligen Koordinaten.

Umgekehrt lässt sich aus den Koordinaten eines beliebigen Punktes P von g der zugehörige Parameter t berechnen.

Um für eine Gerade der Ebene aus der obigen Punktrichtungsgleichung in Vektorform eine parameterfreie Gleichung (eine Gleichung in Koordinatenschreibweise ) zu erhalten, betrachten wir nun allgemein eine Gerade g, die durch einen Punkt $P_0\left(x_0;y_0\right)$ und einen Richtungsvektor
$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)$
bestimmt sei.
Die Gerade g hat die Gleichung
$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)$.
Wenn X(x; y) einen beliebigen Punkt von g bezeichnet, so gilt dann
$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)$,
woraus sich mithilfe der Rechenregeln für Vektoren ergibt:
$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)=t\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right),also\left(\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t\cdot a_x\\ t\cdot a_y\end{array}\right)$.

Durch Anwendung des Prinzips des Koordinatenvergleichs erhält man zwei Gleichungen:
$\begin{array}{l}\left(I\right)x-x_0=t{a}_x\\ \left(II\right)y-y_0=t{a}_y\end{array}$
Löst man beispielsweise die zweite Gleichung nach t auf und setzt in die erste Gleichung ein, so erhält man nach Umformung:
$\left(x-x_0\right)a_y-\left(y-y_0\right)a_x=0$
Hierbei handelt es sich um eine Punktrichtungsgleichung der Geraden g, die keinen Parameter t mehr enthält, die also eine parameterfreie Form dieser Geradengleichung ist.

• Punktrichtungsgleichung einer Geraden in der Ebene (Koordinatenschreibweise): Die Gerade g der Ebene, die durch den Punkt $P_0\left(x_0;y_0\right)$ und den Richtungsvektor
  $\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}{a}_x\\ a_y\end{array}\right)$
  bestimmt ist, lässt sich durch die folgende parameterfreie Gleichung beschreiben:
  $\left(x-x_0\right)a_y-\left(y-y_0\right)a_x=0$

Falls die Gerade g nicht parallel zur y-Achse verläuft, d.h., wenn $a_x\ne 0$ ist, nimmt diese Gleichung die Form
$y-y_0=\frac{a_y}{a_x}\left(x-x_0\right)bzw.y-y_0=m\left(x-x_0\right)$ an.
Dabei ist $m=\frac{a_y}{a_x}$ der Anstieg der Geraden.