Selbstinduktion und Induktivität

Selbstinduktion

Der Betrag der Induktionsspannung ergibt sich aus dem Induktionsgesetz. Es lautet:
$\begin{array}{l}{U}_i=-N\cdot \frac{\text{d}\phi }{\text{d}t}=-N\cdot \frac{\text{d(B}\cdot \text{A)}}{\text{d}t}\\ \text{Da sich bei einer Spule die Fläche}A\text{zeitlich nicht ändert}\text{,}\\ \text{kann man auch schreiben:}\\ U_i=-N\cdot A\cdot \frac{\text{d}B}{\text{d}t}\\ \text{Setzt man für die magnetische Flussdichte einer langen}\\ \text{Spule}B={\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot \frac{I\cdot N}{l}\text{und beachtet},\text{dass sich nur die}\\ \text{Stromstärke}I\text{zeitlich ändert}\text{, so erhält man:}\\ U_i=-N\cdot A\cdot {\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot \frac{N}{l}\cdot \frac{\text{d}I}{\text{d}t}\\ \text{Etwas umgeordnet lautet die Gleichung für die}\\ \text{Selbstinduktionsspannung:}\\ U_i=-{\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot \frac{N^2\cdot A}{l}\cdot \frac{\text{d}I}{\text{d}t}\end{array}$

Der konstante Faktor ${\mu }_0\cdot {\mu }_r\cdot \frac{N^2\cdot A}{l}$ ergibt sich nur aus Größen, die den Bau der Spule kennzeichnen: N ist deren Windungszahl, A die Spulenfläche und l die Länge der Spule. Die relative Permeabilität ${\mu }_r$ kennzeichnet die Füllung der Spule. Für Luft kann sie 1 gesetzt werden, bei einem Eisenkern aus Dynamoblechen liegt der Wert zwischen 200 und 3000.
Der Faktor wird als Induktivität einer Spule bezeichnet und hat das Kurzzeichen L. Als Einheit für die Induktivität ergibt sich $1\frac{\text{V}\cdot \text{s}}{\text{A}}$. Als Abkürzung für diese Einheit wird ein Henry (1 H) verwendet, benannt nach dem amerikanischen Physiker JOSEPH HENRY (1797-1878). Es gilt also:
$1\frac{\text{V}\cdot \text{s}}{\text{A}}=1\text{H}$

Mit der Induktivität L kann man für den Betrag der Selbstinduktionsspannung formulieren:
$\begin{array}{l}{U}_i=-L\cdot \frac{\text{d}I}{\text{d}t}\text{oder}{U}_i=-L\cdot \frac{\Delta I}{\Delta t}\\ L\text{Induktivität der Spule}\\ \text{d}I,\Delta I\text{Änderung der Stromstärke}\\ \text{d}t,\Delta t\text{Änderung der Zeit}\end{array}$

Setzt man dI = 1 A, L = 1 H und dt = 1 s, so wird
$U_i=-1\text{H}\cdot \frac{1\text{A}}{1\text{s}}=-1\frac{\text{V}\cdot \text{s}}{\text{A}}\cdot \frac{1\text{A}}{1\text{s}}=-1\text{V}$
Das bedeutet: In einer Spule der Induktivität 1 Henry wird eine Selbstinduktionsspannung von 1 Volt hervorgerufen, wenn sich die Stärke des sie durchfließenden Stromes während einer Sekunde um ein Ampere ändert.

Beschreibung und Analyse einiger typischer Selbstinduktionsvorgänge

Beispiel 1: Die Bewegung eines Eisenkerns bewirkt bei einer Glühlampe eine Helligkeitsänderung
Der Stromkreis in Bild 2 besteht aus einer Niedervoltlampe, einer Spule mit einem U-Kern und einer Spannungsquelle, deren Spannungshöhe sich nach der eingesetzten Lampe richtet (etwa 6 V bis 15 V). Die Spannung darf allerdings nur so hoch gewählt werden, dass die Lampe deutlich, jedoch nicht mit maximaler Helligkeit leuchtet.
Legt man jetzt den I-Kern auf den U-Kern, so wird die Lampe kurzzeitig dunkler, um dann mit der anfänglichen Helligkeit weiter zu leuchten.
Nimmt man nun den I-Kern wieder ab (Ankippen und seitlich herabziehen), so leuchtet die Lampe kurzzeitig sehr hell auf, um dann wie im ersten Fall mit der ursprünglichen Helligkeit zu leuchten.
Die beobachtbare Helligkeitsänderung ist nur mit einer Stromstärkeänderung zu verstehen. Im ersten Fall wird für einen kurzen Zeitraum der durch die Lampe fließende Strom schwächer, im zweiten Fall stärker. Da die Helligkeitsänderungen nur während des Manipulierens mit dem I-Kern auftraten, muss es sich um einen Induktionsvorgang handeln.
Die experimentellen Ergebnisse lassen sich folgendermaßen deuten: Das Magnetfeld der Spule, die nur den U-Kern enthält streut sehr weit in den Raum, ist im Innern der Spule relativ schwach, aber konstant. Beim Auflegen des I-Kerns wird es auf den geschlossenen Eisenweg konzentriert, es wird im Innern der Spule stärker. Da die Spule sich in ihrem eigenen Magnetfeld befindet, liegt Selbstinduktion vor.
Qualitativ lassen sich die beiden Beobachtungen so begründen: Im ersten Teilversuch wird ein stärkeres Magnetfeld aufgebaut, die dazu erforderliche Energie wird dem Stromkreis entzogen, weshalb die Lampe dunkler wird. Im zweiten Teilversuch wird das Magnetfeld wieder schwächer, die in ihm gespeicherte Energie wird über einen Induktionsvorgang wieder in elektrische Energie gewandelt, weshalb die Lampe heller leuchtet.
Durch eine quantitative Betrachtung werden die Prozesse aber weitaus deutlicher und man kann sich von der Leistungsfähigkeit der mathematischen Beschreibung überzeugen.

Betrachten wir dazu Bild 2: Die anliegende Spannung U soll positiv gezählt werden. Dann ist auch der Strom positiv zu zählen, denn der Widerstand des Stromkreises ist in jedem Fall positiv.
Ist der U-Kern offen, gilt: . ${\Phi }_{offen}=A\cdot {\mu }_1\cdot {\mu }_0\frac{J\cdot N}{l}$
Wird er geschlossen so ist ${\Phi }_{geschlossen}=A\cdot {\mu }_2\cdot {\mu }_0\frac{J\cdot N}{l}$ und ${\Phi }_{geschlossen}>{\Phi }_{offen}$, da ${\mu }_2>{\mu }_1$.
Dadurch wird $U_i=-N\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=-N\frac{{\Phi }_{geschlossen}-{\Phi }_{offen}}{\Delta t}<0$.
Das bedeutet: Die Selbstinduktionsspannung ist zur anliegenden Spannung U entgegengesetzt orientiert. Da der Stromkreis unverändert geschlossen blieb, ist auch ein Induktionsstrom entstanden Damit wird für die Dauer des Induktionsvorgangs ein resultierender Strom fließen, der kleiner als der ursprüngliche Strom ist. Vor und nach dem Auflegen des I-Kerns sind zwar die magnetischen Flüsse verschieden, aber jeweils konstant, also kann keine Spannung induziert werden.
Nimmt man nun den Kern ab, so erhält man: $U_{ind}=-N\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=-N\frac{{\Phi }_{offen}-{\Phi }_{geschlossen}}{\Delta t}>\mathrm{0,}$
denn der Wert des Bruches ist nun negativ. Es sind also anliegende Spannung und Induktionsspannung gleichsinnig orientiert, also auch die beiden Ströme. Dadurch wird kurzzeitig die resultierende Stromstärke größer, weshalb die Lampe heller leuchtet. Wie das Experiment zeigt, kann der Induktionsstrom zum Quellenstrom entgegengesetzt oder auch mit ihm gleichgerichtet fließen. Betrachtet man die in diesem Vorgang mitwirkenden Magnetfelder, so kann man zu einer wichtigen neuen Aussage kommen.
Während des ersten Teilversuchs (Auflegen des Kerns) fließen beide Ströme entgegengesetzt. Da jeder Strom um den Leiter ein Magnetfeld aufbaut, sind diese auch entgegengesetzt. In der Zeit, in der das Feld infolge des Auflegens des Kerns stärker wird, baut der Induktionsstrom ein Feld auf, welches dieses Anwachsen behindert, also eine Verzögerung auslöst.
Während des zweiten Teilversuchs wird zwar das auslösende Feld schwächer, da jedoch der Induktionsstrom ein zu ihm gleichsinnig orientiertes Feld erzeugt, wird abermals die Feldänderung gebremst oder behindert. Das wird in einem Gesetz zusammengefasst, das als lenzsches Gesetz bezeichnet wird. Genauere Informationen dazu sind unter diesem Stichwort zu finden.

Beispiel 2: Gleichartige Glühlampen leuchten zu unterschiedlichen Zeiten auf

Der in Bild 3 dargestellte Versuch stellt eine nochmalige Bestätigung der bisherigen Überlegungen dar. Über einen Schalter werden die Lampen L1 und L2 gleichzeitig eingeschaltet. Der Vorwiderstand für L2 dient zur Einstellung der gleichen Helligkeit für beide Lampen.
Schließt man den Schalter, leuchtet L2 sofort auf, L1 dagegen deutlich verzögert. Bei einer Spule mit etwa 1500 Windungen und geschlossenem massivem Eisenkern sind das 1 bis 2 Sekunden.
Wieder ist die Ursache dafür ein Induktionsvorgang. Das sich aufbauende Magnetfeld entzieht dem Kreis solange Energie, bis sein Aufbau abgeschlossen ist. Erst dann kann die Lampe leuchten.
Nach dem lenzschen Gesetz hemmt der Induktionsstrom über sein Magnetfeld die Ursache für seine Entstehung. Das ist aber das durch den Quellenstrom sich aufbauende Magnetfeld. Also hat das den Induktionsstrom begleitende Feld die entgegengesetzte Polarität. Da beide Ströme im gleichen Leiter fließen, müssen sie entgegengesetzte Richtungen haben. Solange ein Induktionsstrom fließt, wird der Quellenstrom geschwächt.
Beim Öffnen des Schalters verlöschen beide Lampen gleichzeitig. Ursache dafür ist, dass die Selbstinduktionsspannung vom Augenblick ihrer Entstehung an über L2 einen Strom liefert, der ein Anwachsen der Spannung verhindert.
Die an der Spule nachweisbare Selbstinduktionsspannung kann aber trotzdem beachtliche Werte annehmen. Für eine Spule mit 1500 Windungen., 10 cm Länge, einem Querschnitt von 9 Quadratzentimetern mit einem Kernmaterial der relativen Permeabilität 100 bekommt man eine Induktivität von etwa 2,5 H. Bei einem Spulenwiderstand von 16 Ohm und einer Spannung von 10 V fließt der Strom 0,625 A. Nimmt man für den Öffnungsvorgang etwa 10 ms an, so beträgt die Selbstinduktionsspannung ca. 160 V.

Beispiel 3: Nachweis einer Ausschaltspannung

Bild 4 zeigt eine einfache Möglichkeit, eine derartige Ausschaltspannung nachzuweisen. Parallel zur Spule wird eine Glimmlampe geschaltet, deren Zündspannung größer als 100 V ist. Im Moment des Öffnens des Schalters leuchtet sie kräftig auf.
Einerseits stellen solche Schaltspannungen bei Halbleiterbauelementen eine erhebliche Gefahr dar. Sie können zur Zerstörung von Bauelementen führen. Andererseits können Schaltspannungen auch genutzt werden, z.B. zum Zünden von Leuchtstofflampen.