Zustandsgleichung für das ideale Gas

Die Luft in einem Wasserball oder in einer Luftmatratze (Bild 1) hat bei einer bestimmten Temperatur ein bestimmtes Volumen und einen bestimmten Druck. Liegt ein solcher Ball oder eine Luftmatratze in der prallen Sonne, so verändert sich die Temperatur der Luft in ihnen. Damit ändern sich auch Volumen und Druck.

Allgemein wird der Zustand eines Gases durch die drei Größen Druck, Volumen und Temperatur beschrieben. Man nennt sie deshalb auch Zustandsgrößen.
In vielen Fällen, z. B. bei den oben genannten Beispielen, ändern sich Druck, Volumen und Temperatur eines Gases gleichzeitig. Die Zusammenhänge werden mit einer Zustandsgleichung beschrieben. Da diese exakt nur für das ideale Gas gilt, wird sie auch als Zustandsgleichung für das ideale Gas bezeichnet. Man findet auch die Bezeichnungen allgemeine Zustandsgleichung für das ideale Gas oder thermische Zustandsgleichung.

Spezialfälle der allgemeinen Zustandgleichung

Aus der genannten Zustandsgleichung lassen sich für konstanten Druck, für konstantes Volumen und für konstante Temperatur spezielle Zustandsgleichungen ableiten. Es handelt sich dabei um die Gesetze von AMONTONS, von GAY-LUSSAC sowie von BOYLE und MARIOTTE. Sie sind in der nachfolgenden Übersicht zusammengestellt.

Nähere Erläuterungen zu den drei Spezialfällen der Zustandsgleichung für das ideale Gas sind unter den betreffenden Stichwörtern zu finden.

Die allgemeine Zustandsgleichung in anderer Form

Die Zustandsgleichung in der Form
$\frac{p\cdot V}{T}=\text{konstant (1)}$
wirft die Frage auf, welchen Wert diese Konstante hat und was sich physikalisch dahinter verbirgt. Setzt man für den Druck p den Normdruck, für die Temperatur T die Normtemperatur und für das Volumen V das Normvolumen ein, so erhält man:

$\frac{p_0\cdot V_0}{T_0}=\frac{\mathrm{101,325}\text{kPa}\cdot \mathrm{22,414}\cdot {10}^{-3}{\text{m}}^{\text{3}}}{\text{273}\text{,15 K}\cdot \text{mol}}=\mathrm{8,314}\frac{\text{J}}{\text{K}\cdot \text{mol}}$

Diese Konstante wird als universelle Gaskonstante R oder als allgemeine Gaskonstante R bezeichnet. Ihr genauer Wert beträgt:
$R=\mathrm{8,314}472\frac{\text{J}}{\text{K}\cdot \text{mol}}$
Beträgt das Volumen $V=n\cdot V_0,$ wobei n die Stoffmenge ist, dann ergibt sich aus:
$\begin{array}{l}\frac{p_0\cdot V_0}{T_0}=R\text{der Term}\frac{p_0\cdot V_0}{T_0\cdot n}=R\text{oder}\\ \frac{p_0\cdot V_0}{T_0}=n\cdot R\\ \text{Da die Konstante für beliebige}p,V\text{und}T\text{konstant ist}\\ \text{und den gleichen Wert}R\text{hat}\text{, kann man auch schreiben:}\\ \frac{p\cdot V}{T}=n\cdot R\text{oder in der gebräuchlicheren Form:}\\ p\cdot V=n\cdot R\cdot T\text{(2)}\\ \text{Dabei bedeuten:}p\text{Druck des Gases}\\ V\text{Volumen des Gases}\\ n\text{Stoffmenge in mol}\\ R\text{universelle Gaskonstante}\\ T\text{absolute Temperatur}\end{array}$
In der Physik arbeitet man im Unterschied zur Chemie häufiger mit der Masse als mit der Stoffmenge. Deshalb formt man die genannte Gleichung (2) so um, dass dort die Masse erscheint. Dazu nutzt man statt der universellen Gaskonstanten die spezifische Gaskonstante. Beide sind folgendermaßen miteinander verknüpft:
$\begin{array}{l}R=\frac{m}{n}\cdot R_S\\ \text{Setzt man diesen Term in Gleichung (2) ein}\text{, so erhält}\\ \text{man eine dritte Form der allgemeinen Zustandsgleichung:}\\ p\cdot V=m\cdot R_S\cdot T\text{(3)}\\ m\text{Masse des Gases}\\ R_S\text{spezifische Gaskonstante}\end{array}$

Die spezifische Gaskonstante ist eine Stoffkonstante, die für jedes Gas angegeben werden kann, dass sich näherungsweise wie das ideale Gas verhält. Die Werte können Tabellenwerken entnommen werden.

Eine vierte Variante der allgemeinen Zustandsgleichung ergibt sich aus Variante (2), wenn man statt der Stoffmenge die Teilchenanzahl einbezieht. Ausgangspunkt der Herleitung ist die Gleichung:

$\begin{array}{l}p\cdot V=n\cdot R\cdot T\text{(2)}\\ \text{Für die Stoffmenge}n\text{kann man auch schreiben:}\\ n=\frac{N}{N_A},\text{wobei}N\text{die Teilchenanzahl und}{N}_A\text{die}\\ \text{AVOGADRO-Konstante ist}\text{. Diese Konstante lässt}\\ \text{sich auch mithilfe der universellen Gaskonstanten}R\\ \text{und der BOLTZMANN-Konstanten}k\text{ausdrücken:}\\ N_A=\frac{R}{k}\\ \text{Damit erhält man für die Stoffmenge}\\ n=\frac{N}{N_A}=\frac{N\cdot k}{R}\\ \text{Setzt man das in Gleichung (2) ein}\text{, dann ergibt sich:}\\ p\cdot V=\frac{N\cdot k}{R}\cdot R\cdot T\text{oder vereinfacht:}\\ p\cdot V=N\cdot k\cdot T\text{(4)}\\ N\text{Teilchenanzahl}\\ k\text{BOLTZMANN-Konstante}\end{array}$

Welche der vier angegebenen Formen der allgemeinen Zustandsgleichung man nutzt, hängt von den jeweiligen Bedingungen ab. In den Berechnungsbeispielen findet man unterschiedliche Varianten. Zu beachten ist dabei immer: Die Gleichung gilt exakt für das ideale Gas und ist auch für andere Gase anwendbar, wenn sie sich näherungsweise wie das ideale Gas verhalten.