Vierfeldertafeln

Mit der Vierfeldertafel lassen sich wie mit einem Baumdiagramm verschiedene Zerlegungen der Ergebnismenge $\Omega$ darstellen.

Sind A und B zwei Ereignisse bezüglich $\Omega$, so lässt sich $\Omega$ grob zerlegen in $\Omega =A\cup \overline{A}$ (links in der folgenden Abbildung) bzw. $\Omega =B\cup \overline{B}$ (rechts in der folgenden Abbildung):

Eine feinere Zerlegung $\Omega =\left(A\cap B\right)\cup \left(A\cap \overline{B}\right)\cup \left(\overline{A}\cap B\right)\cup \left(\overline{A}\cap \overline{B}\right)$ zeigt die in der folgenden Abbildung dargestellte Vierfeldertafel der Ereignisse.

Trägt man nun im Innern und an den Rändern der Felder die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ein, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die verfeinerte Zerlegung von $\Omega$:

Anmerkung: Analog zu der Vierfeldertafel für Wahrscheinlichkeiten können auch solche für relative Häufigkeiten $h_n$ bzw. absolute Häufigkeiten $H_n$ aufgestellt werden.

Statt der Vierfeldertafel kann man auch die Mengendarstellung in Form eines VENN-Diagramms wählen (siehe folgende Abbildung).

Vierfeldertafeln werden in verschiedenen Lebensbereichen eingesetzt. In der Medizin werden sie beispielsweise genutzt, um eine bestimmte Krankheit in Verbindung mit dem Geschlecht oder mit dem Alter von Patienten darzustellen und zu betrachten. Wir geben dazu ein Beispiel an:

• Beispiel: Eine als Allgemeinmedizinerin praktizierende Ärztin möchte feststellen, ob eine jahreszeitlich bedingt auftretende Krankheit K verstärkt bei älteren Patienten (älter als 50 Jahre) zu verzeichnen ist. Sie registriert dazu bei den nacheinander in ihre Praxis kommenden Patienten (bis zum 500sten) die entsprechenden Merkmale und legt dazu die im Folgenden wiedergegebene Vierfeldertafel an (fiktive Zahlen).

Auf den ersten Blick scheint es eindeutig zu sein, dass von den älteren Patienten an der Krankheit K deutlich mehr erkranken bzw. deutlich weniger nicht erkranken als von den jüngeren Patienten. Diese vermeintliche Eindeutigkeit wird aber dadurch relativiert, dass fast doppelt so viel ältere Menschen überhaupt zur Ärztin gegangen sind. Man könnte z.B. vermuten, dass jüngere Menschen eher dazu neigen, trotz des Vorliegens der Symptome der Krankheit K nicht zum Arzt zu gehen.

Um zu eindeutigeren Aussagen zu gelangen, bedarf es weitergehender stochastischer Untersuchungen und Verfahren. Die Vierfeldertafel kann aber erste Vermutungen und Hinweise auf mögliche Zusammenhänge und Verbindungen liefern.