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Der (historisch gesehen) zunächst nur naiv gefasste Begriff der reellen Zahl bedurfte einer exakten Fundierung. Dies gelang RICHARD DEDEKIND (1831 bis 1916), der mithilfe eines Schnittes zwischen zwei rationalen Zahlenmengen zu einer exakten Definition der reellen Zahlen gelangte.

Ein etwas anderes Vorgehen ist die Methode der Intervallschachtelungen, die im Folgenden skizziert wird.

Dabei zeigt sich: Durch eine Intervallschachtelung in der Menge $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen wird genau eine reelle Zahl (als Kern) definiert. In der Menge $ℝ$ der reellen Zahlen besitzt jede Intervallschachtelung als Kern eine reelle Zahl, d.h., $ℝ$ ist abgeschlossen.