Sekantennäherungsverfahren (regula falsi)

Das Berechnen von Nullstellen gegebener Funktionen, d.h. das Lösen der entsprechenden Gleichungen, kann zu einem Problem werden, wenn die zu betrachtenden Funktionen (Gleichungen) komplizierter werden.

Man denke etwa an Funktionen (Gleichungen) wie die folgenden
$\begin{array}{l}f(x)=x^3+2x^2+\mathrm{2,5}x+1\\ f(x)=x-3\sin x+1\\ f(x)=5x^2-2^x\end{array}$

Für ganzrationale Funktionen 1. und 2. Grades gibt es allgemeingültige (und wohl auch allgemein bekannte) Formeln zum Ermitteln der Nullstellen:

1. $f(x)=ax+b=0\Rightarrow x_0=-\frac{b}{a}$
2. $f(x)=a{x}^2+bx+c=0\Rightarrow x_{1;2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\frac{p^2}{4}-q}(mitp=\frac{b}{a}undq=\frac{c}{a})$

Auch für ganzrationale Funktionen 3. und 4. Grades gibt es allgemeingültige Formeln zum Ermitteln der Nullstellen, d.h. zum Lösen der entsprechenden Gleichungen, die sogenannten cardanischen Formeln. Das Anwenden dieser Formeln kann aber sehr umständlich und aufwendig werden.

Für ganzrationale Gleichungen höheren Grades (vom Grade n mit $n>4undn\in \mathbb{N}$) gibt es kein allgemeingültiges Lösungsverfahren. Dies hat im Jahre 1826 der norwegische Mathematiker NILS HENRIK ABEL (1802 bis 1829) bewiesen.

Damit schneidet auch die Sekante s die x-Achse. Die Abszisse dieses Schnittpunktes (also einen „falschen“ Wert) berechnet man anstelle des richtigen Wertes $x_0$ für die Nullstelle von $y=f(x)$.

Die Gleichung der Sekante s erhält man nach der Zweipunktegleichung:
$y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot \left(x-x_1\right)+y_1$

Für $y=0$ erhält man den Wert $x_3$:
$x_3=x_1-y_1\cdot \frac{x_2-x_1}{y_2-y_1}$

Man ermittelt nunmehr $y_3$ und damit den Punkt $P_3$. Mit diesem und einen der beiden Ausgangspunkte, nämlich demjenigen, durch den die Bedingung $f\left(x_3\right)\cdot f\left(x_i\right)<0miti=1;2$ erfüllt ist, wiederholt man das Verfahren und erhält $x_4$.

Diesen Prozess setzt man fort und erhält so eine iterative Näherung für die Nullstelle $x_0$. Diese Näherung wird umso besser und schneller, je dichter die Ausgangswerte $x_{1}und{x}_2$ an der Nullstelle $x_0$ liegen.

• Beispiel 1: $y=f(x)=x^3+2x^2+\mathrm{2,5}x$

Man wählt $x_1=0und{x}_2=-1$. Dann erhält man (wie aus der nachfolgenden Tabelle, in die auch die weiteren Werte $x_i$ eingetragen wurden, ersichtlich) $y_1=1und{y}_2=-\mathrm{0,5}$.

• Beispiel 2: $y=f(x)=x-3\sin x+1$

Man wählt $x_1=0und{x}_2=1$. Dann erhält man (wie aus der nachfolgenden Tabelle ersichtlich) $y_1=1und{y}_2=-\mathrm{0,52}$.

In den nächsten Schritten würde man $x_6=\mathrm{0,538}95undf\left(x_6\right)=\mathrm{0,000}76$ erhalten.

• Beispiel 3: $y=f(x)=5x^2-2^x$

Man wählt $x_1=0und{x}_2=1$. Dann erhält man (wie aus der nachfolgenden Tabelle ersichtlich) $y_1=-1und{y}_2=3$.

In den nächsten Schritten würde man $x_6=\mathrm{0,5247}undf\left(x_6\right)=\mathrm{0,0621}$ sowie $x_7=\mathrm{0,534}31undf\left(x_7\right)=\mathrm{0,002}08$ erhalten.

Die Beispiele zeigen, dass die Annäherung an die Nullstelle unterschiedlich gut (schnell) verlaufen kann. Hier sind die Art der Funktion und die gewählten Ausgangswerte von entscheidender Bedeutung. Man sollte das Intervall $\left[x_1;x_2\right]$ so klein wie möglich wählen.

Problematisch kann es werden, wenn in diesem Intervall mehrere Nullstellen (es muss immer eine ungerade Anzahl sein) liegen.