Sekantennäherungsverfahren (regula falsi)

Das Berechnen von Nullstellen gegebener Funktionen, d.h. das Lösen der entsprechenden Gleichungen, kann zu einem Problem werden, wenn die zu betrachtenden Funktionen (Gleichungen) komplizierter werden.

Man denke etwa an Funktionen (Gleichungen) wie die folgenden
f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 2,5 x + 1 f ( x ) = x 3 sin x + 1 f ( x ) = 5 x 2 2 x

Für ganzrationale Funktionen 1. und 2. Grades gibt es allgemeingültige (und wohl auch allgemein bekannte) Formeln zum Ermitteln der Nullstellen:

  1. f ( x ) = a x + b = 0 x 0 = b a
  2. f ( x ) = a x 2 + b x + c = 0 x 1 ; 2 = p 2 ± p 2 4 q ( m i t p = b a u n d q = c a )

Auch für ganzrationale Funktionen 3. und 4. Grades gibt es allgemeingültige Formeln zum Ermitteln der Nullstellen, d.h. zum Lösen der entsprechenden Gleichungen, die sogenannten cardanischen Formeln. Das Anwenden dieser Formeln kann aber sehr umständlich und aufwendig werden.

Für ganzrationale Gleichungen höheren Grades (vom Grade n mit n > 4 u n d n ) gibt es kein allgemeingültiges Lösungsverfahren. Dies hat im Jahre 1826 der norwegische Mathematiker NILS HENRIK ABEL (1802 bis 1829) bewiesen.

Für transzendente Funktionen (z.B. trigonometrische Funktionen oder Exponential- und Wurzelfunktionen) gibt es ebenfalls keine allgemeingültigen Verfahren zur Nullstellenbestimmung, d.h. zum Lösen der entsprechenden Gleichungen.

In den Fällen, wo das exakte Ermitteln der Nullstellen nicht möglich oder sehr umständlich ist, kann man diese aber mithilfe geeigneter Verfahren näherungsweise ermitteln. Ein solches Verfahren ist das newtonsche Näherungsverfahren (auch Tangentennäherungsverfahren genannt). Seine Anwendung ist an bestimmte Voraussetzungen gebunden und setzt Kenntnisse der Differenzialrechnung voraus.

Mit schwächeren Voraussetzungen und ohne Kenntnisse der Infintesimalrechnung kommt das Sekantennäherungsverfahren, die regula falsi (Regel des falschen Wertes) aus. Dieses Verfahren soll im Folgenden dargestellt und an Beispielen erläutert werden.

Beim Sekantennäherungsverfahren wird das Bild der Funktion y = f ( x ) zwischen zwei Punkten P 1 ( x 1 ; y 1 ) u n d P 2 ( x 2 ; y 2 ) ersetzt durch eine Gerade, die durch diese Punkte geht.

Setzt man voraus, dass die Funktion y = f ( x ) im Intervall [ x 1 ; x 2 ] stetig ist und wählt man die Punkte P 1 u n d P 2 so, dass einer oberhalb und der andere unterhalb der x-Achse liegt, also f ( x 1 ) f ( x 2 ) < 0 gilt, so muss im Intervall [ x 1 ; x 2 ] (mindestens) eine Nullstelle liegen.

Sekantennäherungsverfahren (regula falsi)

Sekantennäherungsverfahren (regula falsi)

Damit schneidet auch die Sekante s die x-Achse. Die Abszisse dieses Schnittpunktes (also einen „falschen“ Wert) berechnet man anstelle des richtigen Wertes x 0 für die Nullstelle von y = f ( x ) .

Die Gleichung der Sekante s erhält man nach der Zweipunktegleichung:
y = y 2 y 1 x 2 x 1 ( x x 1 ) + y 1

Für y = 0 erhält man den Wert x 3 :
x 3 = x 1 y 1 x 2 x 1 y 2 y 1

Man ermittelt nunmehr y 3 und damit den Punkt P 3 . Mit diesem und einen der beiden Ausgangspunkte, nämlich demjenigen, durch den die Bedingung f ( x 3 ) f ( x i ) < 0 m i t i = 1 ; 2 erfüllt ist, wiederholt man das Verfahren und erhält x 4 .

Diesen Prozess setzt man fort und erhält so eine iterative Näherung für die Nullstelle x 0 . Diese Näherung wird umso besser und schneller, je dichter die Ausgangswerte x 1 u n d x 2 an der Nullstelle x 0 liegen.

  • Beispiel 1: y = f ( x ) = x 3 + 2 x 2 + 2,5 x

Man wählt x 1 = 0 u n d x 2 = 1 . Dann erhält man (wie aus der nachfolgenden Tabelle, in die auch die weiteren Werte x i eingetragen wurden, ersichtlich) y 1 = 1 u n d y 2 = 0,5 .

Bild

  • Beispiel 2: y = f ( x ) = x 3 sin x + 1

Man wählt x 1 = 0 u n d x 2 = 1 . Dann erhält man (wie aus der nachfolgenden Tabelle ersichtlich) y 1 = 1 u n d y 2 = 0,52 .

Bild

In den nächsten Schritten würde man x 6 = 0,538 95 u n d f ( x 6 ) = 0,000 76 erhalten.

  • Beispiel 3: y = f ( x ) = 5 x 2 2 x

Man wählt x 1 = 0 u n d x 2 = 1 . Dann erhält man (wie aus der nachfolgenden Tabelle ersichtlich) y 1 = 1 u n d y 2 = 3 .

Bild

In den nächsten Schritten würde man x 6 = 0,5247 u n d f ( x 6 ) = 0,0621 sowie x 7 = 0,534 31 u n d f ( x 7 ) = 0,002 08 erhalten.

Die Beispiele zeigen, dass die Annäherung an die Nullstelle unterschiedlich gut (schnell) verlaufen kann. Hier sind die Art der Funktion und die gewählten Ausgangswerte von entscheidender Bedeutung. Man sollte das Intervall [ x 1 ; x 2 ] so klein wie möglich wählen.

Problematisch kann es werden, wenn in diesem Intervall mehrere Nullstellen (es muss immer eine ungerade Anzahl sein) liegen.

Im Zeitalter der Computer und Taschenrechner spielen Näherungsverfahren zum Ermitteln von Nullstellen bzw. zum Lösen von Gleichungen nur noch eine geringe Rolle. So lassen sich die oben ausgeführten Beispiele einfach und mit hinreichender Genauigkeit mithilfe eines Computeralgebrasystems (CAS) lösen.

Bevor hochleistungsfähige Rechentechnik zur Verfügung stand, waren aber die Näherungsverfahren – und hier wegen der im Prinzip einfachen Handhabung besonders die regula falsi – oft genutzte Hilfsmittel.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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