Stetigkeit

Mithilfe des Grenzwertbegriffs wird Stetigkeit folgendermaßen definiert:

  • Die Funktion f heißt an der Stelle x0Df stetig, wenn der Grenzwert von f an der Stelle x0 existiert und mit dem Funktionswert an der Stelle x0 übereinstimmt, d.h., wenn gilt:
    limxx0f(x)=f(x0)
    (Kurz und vereinfacht merkt man sich: „Funktionswert gleich Grenzwert!“)

Wenn x0 zum Definitionsbereich gehört, die Funktion f aber an der Stelle x0 nicht stetig sein sollte, so kann das nur an einer der beiden folgenden Ursachen liegen:

Entweder hat die Funktion f(x) keinen Grenzwert für xx0 (dann liegt bei x0 eine echte Unstetigkeit vor) oder sie hat einen Grenzwert, der aber von f(x0) verschieden ist (in diesem Fall spricht man von einer hebbaren Unstetigkeit). In folgendem Bild sind diese beiden Fällen dargestellt.

Bild

Die links dargestellte Funktion ist an der Stelle x0 echt unstetig, da sie dort keinen Grenzwert besitzt.
Die rechts dargestellte Funktion hat an der Stelle x0 einen Grenzwert, ist an dieser Stelle allerdings unstetig, da Grenzwert und Funktionswert dort nicht übereinstimmen. Die Unstetigkeit ist jedoch hebbar, d.h., sie kann durch Umdefinieren von f an der Stelle x0 aufgehoben (behoben) werden, indem man den Punkt im rechten Bild „an die richtige Stelle absenkt“.

Den Begriff Stetigkeit kann man auch ohne Bezug zum Grenzwertbegriff definieren, indem man auf den Umgebungsbegriff zurückgeht. Man definiert dann folgendermaßen:

  • Eine Funktion f heißt stetig an der Stelle x0Df, wenn es zu jedem ε>0 eine Zahl δ(ε)>0 gibt, sodass für alle x aus einer Umgebung Uδ(x0) gilt:
    |xx0|<δ|f(x)f(x0)|<ε
    (Mit anderen Worten: f(x) liegt in einer beliebig vorgegebenen ε-Umgebung von f(x0), wenn x nur nahe genug bei x0 liegt.)
Definition des Begriffes Stetigkeit mithilfe des Umgebungsbegriffes

Anmerkung: Beide hier angeführten Definitionen der Stetigkeit sind zueinander gleichwertig.

Wir betrachten im Folgenden zwei Beispiele.

Beispiel 1: Die Funktion f mit f(x)={x242x4;x22;x=2
ist auf Stetigkeit an der Stelle x0=2 zu untersuchen.

Für den Grenzwert an dieser Stelle ergibt sich:
limx2f(x)=limx2x242(x2)=limx2x+22=2=f(2)

Grenzwert und Funktionswert stimmen überein, damit ist f an der Stelle x0=2 stetig.

Bild

Beispiel 2: Gegeben sei die Funktion f mit f(x)={1x+2;x<2;x014x2;x2.
Ist f an den Stellen x1=2undx2=0 stetig?

Für den Grenzwert limx2f(x) erhält man:
limx2x>214x2=1undlimx2x<2(1x+2)=2,5

Rechts- und linksseitiger Grenzwert stimmen nicht über, folglich existiert kein Grenzwert der Funktion für x2 und die Funktion ist an der Stelle x1=2 unstetig.

Da die Funktion f an der Stelle x2=0 nicht definiert ist, erübrigt sich eine Untersuchung auf Stetigkeit. Sie ist dort weder stetig noch unstetig.

Bild

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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