Grenzwerte von Zahlenfolgen

Zahlenfolgen kann man hinsichtlich der Eigenschaften Monotonie und Beschränktheit untersuchen. Diese Untersuchungen sind nur für unendliche Zahlenfolgen sinnvoll, im Folgenden werden nur solche Folgen betrachtet.

Es sei das folgende Beispiel einer Zahlenfolge gegeben:
$\left(a_n\right)=\left(\frac{n-1}{n}\right)=0;\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{3}{4};\frac{4}{5};\frac{5}{6};\mathrm{...}$

Wir zeigen, dass diese Folge streng monoton wachsend und beschränkt (mit der unteren Schranke 0 und der oberen Schranke 1) ist:

(1) Monotonie
Es ist zu zeigen, dass $a_{n+1}>a_n$ für alle n gilt.
$\begin{array}{l}\frac{n}{n+1}>\frac{n-1}{n}\\ n^2>(n-1)(n+1)=n^2-1\\ 0>-1\end{array}$

(2) Beschränktheit
Wegen $n\ge 1undn\in N$ ist einsichtig, dass stets $a_n\ge 0$ gilt. Außerdem ist zu zeigen, dass $a_n\le 1$ für alle n gilt.
$\begin{array}{l}\frac{n-1}{n}\le 1\\ n-1\le n\\ -1\le 0\end{array}$

Natürlich ist auch jede Zahl größer 1 eine obere Schranke der Folge, aber der Wert 1 ist eine besondere obere Schranke, ihm nähern sich die Glieder der Folge immer mehr.

So ist $a_{100}=\frac{99}{100}=\mathrm{0,99}$ und $a_{1000}=\frac{999}{1000}=\mathrm{0,999}$. Die Folge kommt dem Wert 1 also beliebig nahe, man muss nur in der Folge weit genug voranschreiten (hinreichend große Glieder betrachten).

Der Begriff des Grenzwertes

Ausgehend von derartigen Überlegungen kommt man zur Definition eines der zentralen Begriffe der Mathematik, dem Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge. Um diesen exakt definieren zu können, führt man eine Größe $\epsilon$ ein, worunter eine beliebig kleine positive reelle Zahl verstanden wird. Dann kann man wie folgt formulieren:

• Die Zahl g heißt Grenzwert der Zahlenfolge $\left(a_n\right)$, wenn für jedes noch so kleine $\epsilon$ die Ungleichung $\left|a_n-g\right|<\epsilon$ ab einem bestimmten n erfüllt ist.

Wir betrachten wieder unser obiges Beispiel und zeigen, dass die Folge den Grenzwert $g=1$ hat. Es gilt:
$\begin{array}{l}\left|a_n-1\right|=\left|\frac{n-1}{n}-1\right|=\left|\frac{-1}{n}\right|=\frac{1}{n}<\epsilon \\ \Rightarrow n>\frac{1}{\epsilon }\end{array}$

Wählt man nun beispielsweise $\epsilon =\frac{1}{100}=\mathrm{0,01}$, so folgt $n>100$, d.h., alle Glieder der Folge ab dem Glied $a_{101}$ haben von 1 einen geringeren Abstand als die vorgegebenen 0,01.

Unter der $\epsilon$ -Umgebung einer Zahl g versteht man das offene Intervall $\left]g-\epsilon ;g+\epsilon \right[$. Mithilfe dieses Begriffes lässt sich die Definition des Grenzwertes folgendermaßen vereinfachen:

• Die Zahl g heißt Grenzwert der Zahlenfolge $\left(a_n\right)$, wenn für jedes noch so kleine $\epsilon$ fast alle Glieder an in der $\epsilon$-Umgebung von g liegen.
  Anmerkung: Die Formulierung fast alle bedeutet alle bis auf endlich viele, also unendlich viele mit Ausnahme endlich vieler.

Die Glieder einer Zahlenfolge können sich dem Grenzwert g von unten (links), von oben (rechts) oder auch von beiden Seiten nähern.

• $\left(a_n\right)=\left(\frac{n-1}{n}\right)$
  Diese (oben betrachtete) Folge beginnt bei 0 und ist (streng) monoton wachsend. Alle Glieder sind kleiner als 1, die Folge nähert sich dem Grenzwert 1 von unten (links).
   
• $\left(a_n\right)=\left(\frac{n+1}{n}\right)=2;\frac{3}{2};\frac{4}{3};\frac{5}{4};\mathrm{...}$
  Die Folge beginnt bei 2 und ist (streng) monoton fallend. Alle Glieder sind größer als 1, die Folge nähert sich dem Grenzwert 1 von oben (rechts).
   
• $\left(a_n\right)=\left({\left(-1\right)}^n\cdot \frac{1}{2^{n-1}}\right)=-1;\frac{1}{2};-\frac{1}{4};\frac{1}{8};-\frac{1}{16};\mathrm{...}$
  Die Folge beginnt bei -1 und ist alternierend. Sie nähert sich dem Grenzwert 0 von beiden Seiten.

Folgen, die einen Grenzwert haben, heißen konvergent; haben Folgen keinen Grenzwert, so nennt man sie divergent.
Die Tatsache, dass die Folge $\left(a_n\right)$ den Grenzwert g hat, drückt man durch folgende Symbolik aus:
$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=g$
(Sprechweise: Limes von $a_n$ für n gegen unendlich gleich g)

Zahlenfolgen, die den Grenzwert 0 haben, heißen Nullfolgen. Sie spielen beim Berechnen von (weiteren) Grenzwerten sowie beim Begründen der Differentialrechnung eine besondere Rolle.

Grenzwerte arithmetischer und geometrischer Zahlenfolgen

Eine arithmetische Folge $\left(a_n\right)=a_1+(n-1)\cdot d$ ist
- monoton wachsend für $d>0$;
- monoton fallend für $d<0$;
- konstant für $d=0$.

Nur im letzten Fall, d.h. für $\left(a_n\right)=a_1;a_1;a_1;\mathrm{...}$, ist die Folge konvergent und hat den (trivialen) Grenzwert $a_1$.
Die Folge der Partialsummen einer arithmetischen Folge $s_n$ wächst (bzw. fällt) über (bzw. unter) alle Grenzen, sie ist also divergent.

Eine geometrische Folge $a_n=a_1\cdot q^{n-1}\left(q>0;q\in Q_{+}\right)$ ist
- monoton wachsend für $q>1$;
- monoton fallend für $0<q<1$;
- konstant für $q=1$.

Im ersten Fall ist die Folge divergent, im dritten Fall besitzt sie den (trivialen) Grenzwert $a_1$.
Gilt für eine geometrische Folge $0<q<1$, so ist sie konvergent und es handelt sich um eine Nullfolge.
Die Folge der Partialsummen einer geometrischen Zahlenfolge ist ebenfalls nur für den Fall $0<q<1$ konvergent und hat den Grenzwert $s=\frac{a_1}{1-q}$.