Grenzwertsätze für Zahlenfolgen

Möchte man kompliziertere Zahlenfolgen, etwa die Folge $\left(a_n\right)=\left(\frac{2n^2+4n-3}{3n^2-n+1}\right)$, auf die Existenz eines Grenzwertes untersuchen (und diesen ggf. berechnen), so sind Sätze über Grenzwerte (Grenzwertsätze), wie sie im Folgenden dargestellt werden, von Nutzen.

Gegeben seien die konvergenten Zahlenfolgen $\left(a_n\right)und\left(b_n\right)$ mit
$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=g_{1}bzw.\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=g_2$

Dann gilt:
$\begin{array}{l}(1)\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n+b_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n+\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\\ (2)\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n-b_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n-\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\\ (3)\underset{n\to \infty }{\lim }\left(a_n\cdot b_n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n\\ (4)\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{b_n}=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n}{\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n}\end{array}$

Diese Grenzwertsätze sind zu beweisen. Exemplarisch soll dies nachfolgend für (1) dargestellt werden.

Beweis von (1):
Nach Definition des Grenzwertes ist zu zeigen, dass für jede beliebige positive reelle Zahl $\epsilon$ und fast alle $n\in \mathbb{N}$ die folgende Ungleichung erfüllt ist:
$\left|\left(a_n+b_n\right)-\left(g_1+g_2\right)\right|<\epsilon$

Wegen $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=g_{1}und\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=g_2$ gilt nach Definition des Grenzwertes für fast alle n:
$\left|a_n-g_1\right|<\frac{\epsilon }{2}bzw.\left|b_n-g_2\right|<\frac{\epsilon }{2}$

Anmerkung: Da obige Ungleichungen für jede reelle Zahl gelten, so sind sie natürlich auch für das von uns gewählte $\frac{\epsilon }{2}$ erfüllt.

Dann folgt (unter Verwendung der Dreiecksungleichung):
$\begin{array}{l}\left|\left(a_n+b_n\right)-\left(g_1+g_2\right)\right|=\left|\left(a_n-g_1\right)+\left(b_n-g_2\right)\right|\\ \le \left|a_n-g_1\right|+\left|b_n-g_2\right|<\frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon \end{array}$

Beispiele für das Berechnen von Grenzwerten:

• $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n+1}{n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(2+\frac{1}{n}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }2+\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=2+0=2$
   
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3-5n}{2n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{3}{2n}-\frac{5}{2}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3}{2n}-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{5}{2}=0-\frac{5}{2}=-\frac{5}{2}$
   
• $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{(2n+1)(3-5n)}{2n^2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2n+1}{n}\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{3-5n}{2n}=2\cdot \left(-\frac{5}{2}\right)=-5$

Aus der Existenz der Grenzwerte $g_{1}und{g}_2$ für die Folgen $\left(a_n\right)und\left(b_n\right)$ resultiert, dass die Folge $\left(c_n\right)mit{c}_n=a_n\cdot b_n$ konvergent ist und den Grenzwert $g=g_1\cdot g_2$ hat. Die Umkehrung dieses Satzes gilt allerdings nicht.

Wir betrachten das folgende Beispiel:
$\left(c_n\right)=\frac{\left(a_n\right)}{\left(b_n\right)}=\frac{(2n^2+4n-3)}{(3n^2-n+1)}$

Die Folgen $\left(a_n\right)und\left(b_n\right)$ wachsen mit zunehmendem n über alle Grenzen, sie sind also divergent.

Das Bildungsgesetz des Folge $\left(c_n\right)$ kann man umformen, indem man in Zähler und Nenner jeweils die höchste Potenz von n ausklammert und dann (soweit wie möglich) kürzt:
$\left(c_n\right)=\frac{\left(2+\frac{4}{n}-\frac{3}{n^2}\right)}{\left(3-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}$

Dann ist nach obigen Grenzwertsätzen:
$\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=\frac{\underset{n\to \infty }{\lim }\left(2+\frac{4}{n}-\frac{3}{n^2}\right)}{\underset{n\to \infty }{\lim }\left(3-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}\right)}=\frac{2}{3}$

Ausgehend von diesem Beispiel lässt sich verallgemeinernd Folgendes feststellen:
Sind $\left(a_n\right)und\left(b_n\right)$ Zahlenfolgen, deren Bildungsgesetze ganzrationale Funktionen (Polynome) in n sind, so gilt für die Folge $\left(c_n\right)=\frac{\left(a_n\right)}{\left(b_n\right)}$:

1. $\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=0$, wenn die höchste Potenz von n im Nenner größer ist als die höchste Potenz von n im Zähler;
2. $\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n=g$, falls die höchste Potenz von n im Nenner gleich ist als der höchsten Potenz von n im Zähler ist (der Wert g ist der Quotient aus dem Koeffizienten der höchsten Potenz des Zählers und der höchsten Potenz des Nenners);
3. $\underset{n\to \infty }{\lim }{c}_n$ existiert nicht, wenn die höchste Potenz von n im Nenner kleiner ist als die höchste Potenz von n im Zähler.