Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten

Addiert man die Wahrscheinlichkeiten $P\left(A\right)$ und $P\left(B\right)$ zweier Ereignisse A und B, so erhält man nach dem 3. Axiom der Wahrscheinlichkeitsrechnung (Additivität) die Wahrscheinlichkeit $P\left(A\cup B\right)$, sofern A und B unvereinbar sind, d.h. wenn $A\cap B=\varnothing$ gilt.

Wie kann aber die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A\cup B$ berechnet werden, wenn die Bedingung $A\cap B=\varnothing$ nicht erfüllt ist?

Die Vierfeldertafel bzw. das VENN-Diagramm legen die Vermutung nahe, dass von $P\left(A\right)+P\left(B\right)$ die Wahrscheinlichkeit $P\left(A\cap B\right)$subtrahiert werden muss:

• Additionssatz: Für zwei beliebige Ereignisse $A,B\left(mitA,B\subseteq \Omega \right)$gilt:
  $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$

Beweis:
Die grundlegende Beweisidee besteht darin, das Ereignis $A\cup B$ in zwei unvereinbare Ereignisse zu zerlegen, sodass auf diese das Axiom der Additivität für Wahrscheinlichkeiten angewandt werden kann.

Durch eine Zerlegung von $A\cup B$ in zwei unvereinbare Ereignisse ergibt sich $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\cup \left(\overline{A}\cap B\right)\right)$ bzw. (nach Axiom 3) $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\cap B\right)$.

Addiert man auf der rechten Seite $0=P\left(A\cap B\right)-P\left(A\cap B\right)$,
so folgt ebenso nach Axiom 3
$\begin{array}{l}P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+\left(P\left(\overline{A}\cap B\right)+P\left(A\cap B\right)\right)-P\left(A\cap B\right)\\ =P\left(A\right)+P\left(\left(\overline{A}\cap B\right)\cup \left(A\cap B\right)\right)-P\left(A\cap B\right),\end{array}$
da $\left(\overline{A}\cap B\right)\cap \left(A\cap B\right)=\varnothing$ ist.

Wegen $\left(\overline{A}\cap B\right)\cup \left(A\cap B\right)=B$ gilt dann:
$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)w.z.b.w.$

Wir betrachten dazu ein Beispiel aus dem Bereich der Glücksspiele.

Glücksspiele wurden in der Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie nicht allein deswegen analysiert, weil sie an sich so wichtig waren, sondern weil man an ihnen das Wesentliche ohne viele Störfaktoren darstellen kann. (BOROVCNIK)

Beispiel: Beim Skatspielen erhält Tessa (genau) zehn der 32 Karten.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält sie vier Buben oder genau drei Damen?

Lösung:
Es gilt:
$\begin{array}{l}P\left(A\right)=P\left(\left\{TessaerhältvierBuben\right\}\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}28\\ 6\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}32\\ 10\end{array}\right)}=\frac{\left(\begin{array}{c}28\\ 6\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}32\\ 10\end{array}\right)}\\ P\left(B\right)=P\left(\left\{TessaerhältgenaudreiDamen\right\}\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}28\\ 7\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}32\\ 10\end{array}\right)}\end{array}$
$\begin{array}{l}P\left(A\cap B\right)=P\left(\left\{TessaerhältvierBubenundgenaudreiDamen\right\}\right)\\ =\frac{\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}28\\ 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}32\\ 10\end{array}\right)}=\frac{\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}28\\ 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}32\\ 10\end{array}\right)}\end{array}$

Nach dem Additionssatz beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit:
$P\left(A\cup B\right)=\frac{\left(\begin{array}{c}28\\ 6\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}28\\ 7\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}4\\ 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}28\\ 3\end{array}\right)}{\left(\begin{array}{c}32\\ 10\end{array}\right)}\approx \mathrm{0,079}$

Verallgemeinerungen und Spezialfälle

Wir betrachten zunächst verallgemeinerte Additionssätze.

• Für drei beliebige Ereignisse $A,B,C\subseteq \Omega$ gilt:
  $\begin{array}{l}P\left(A\cup B\cup C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)\\ -P\left(A\cap B\right)-P\left(A\cap C\right)-P\left(B\cap C\right)\\ +P\left(A\cap B\cap C\right)\end{array}$
• Für $n\left(mitn\in \mathbb{N}\backslash \left\{0;1\right\}\right)$ beliebige Ereignisse $A_1,A_2,\mathrm{...,}{A}_n\subseteq \Omega$ gilt:
  $\begin{array}{l}P\left(A_1\cup A_2\cup \mathrm{...}\cup A_n\right)\\ =P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\mathrm{...}+P\left(A_n\right)\\ -P\left(A_1\cap A_2\right)-P\left(A_1\cap A_3\right)-\mathrm{...}-P\left(A_{n-1}\cap A_n\right)\\ +P\left(A_1\cap A_2\cap A_3\right)+P\left(A_1\cap A_2\cap A_4\right)+\mathrm{...}+P\left(A_{n-2}\cap A_{n-1}\cap A_n\right)\\ -\mathrm{...}+\mathrm{...}\\ \mathrm{...}\\ +{\left(-1\right)}^n\cdot P\left(A_1\cap A_2\cap \mathrm{...}\cap A_n\right)\end{array}$

Wir betrachten im Folgenden ein Beispiel für drei Ereignisse.

Beispiel: Bei einem Glücksspiel werden drei faire Tetraeder geworfen. Der Spieler gewinnt, wenn das Ereignis $A=\left\{dreigleicheAugenzahlen\right\}$ oder das Ereignis $B=\left\{\min destenseineVier\right\}$ oder das Ereignis $C=\left\{\min destens11alsAugensumme\right\}$ eintritt.

Lösung:
Es gilt:
$\begin{array}{l}P\left(A\right)=\frac{4}{4^3}=\frac{4}{64}P\left(B\right)=1-\frac{3^3}{4^3}=\frac{27}{64}P\left(C\right)=\frac{4}{4^3}=\frac{4}{64}\\ P\left(A\cap B\right)=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}P\left(A\cap C\right)=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}\\ P\left(B\cap C\right)=\frac{4}{4^3}=\frac{4}{64}\\ P\left(A\cap B\cap C\right)=\frac{1}{4^3}=\frac{1}{64}\end{array}$

Nach dem Additionssatz für drei Ereignisse ist dann:
$P\left(A\cup B\cup C\right)=\frac{4+37+4-1-1-4+1}{64}=\frac{40}{64}=\mathrm{0,625}$

Für zwei unvereinbare bzw. zwei unabhängige Ereignisse lassen sich spezielle Additionssätze formulieren.

• Für unvereinbare Ereignisse reduziert sich der Additionssatz auf die Additivität (Axiom 3) für Wahrscheinlichkeiten:
  $\begin{array}{l}P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)fürA\cap B=\varnothing \\ P\left(A\cup B\cup C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)\\ fürA\cap B=A\cap C=B\cap C=\varnothing \\ P\left(A\right)=P\left(\left\{e_1\right\}\right)+P\left(\left\{e_2\right\}\right)+\mathrm{...}+P\left(\left\{e_n\right\}\right)\\ fürA=\left\{e_1;e_2;\mathrm{...};e_n\right\}\end{array}$
• Für unabhängige Ereignisse gilt:
  $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$