Verketten von Funktionen

Die Verkettung $f\left(g\left(x\right)\right)$ ist definiert für alle x, für welche die Funktionswerte von g (also $g\left(x\right)$) zum Definitionsbereich von f gehören.
Eine Verkettung von Funktionen ist nur dann möglich, wenn die Schnittmenge aus dem Definitionsbereich der äußeren Funktion und dem Wertebereich der inneren Funktion nicht leer ist.

Es ist möglich, eine Verkettung von mehr als zwei Funktionen zu bilden. So besteht z.B. die Dreifachverkettung $f\circ g\circ h$ darin, unter Beachtung der Voraussetzungen erst h, dann g und danach f anzuwenden:
$f\circ g\circ h=f\left(g\left(h\left(x\right)\right)\right)$

Analog kann man mit beliebig vielen Funktionen (wiederum unter Beachtung der Voraussetzungen) verfahren.

• Beispiel: Es sind die beiden möglichen Verkettungen der folgenden Funktionen zu bestimmen:
  $\begin{array}{l}f\text{:}\left[0;8\right]\to ℝ,f\left(x\right)=5x-10\\ g\text{:}{ℝ}_0\to {ℝ}_0,g\left(x\right)=\sqrt{x}\end{array}$

1. Teil der Lösung:
$f\circ g=f\left(g\left(x\right)\right)$

Es ist $W_g={ℝ}_0\subseteq \left[0;8\right]=D_f,$ aber $W_g\cap D_f={ℝ}_0\cap \left[0;8\right]=\left[0;8\right]\ne \cancel{0};$ d.h., wir müssen zunächst den Definitionsbereich von g so einschränken, dass $g\left(x\right)\in \left[0;8\right],$ also $0\le g\left(x\right)\le 8\iff 0\le \sqrt{x}\le 8\iff x\le 64.$

Dann erhalten wir:
$f\circ g=f\left(g\left(x\right)\right)=5\sqrt{x}-\mathrm{10,}x\in \left[0;64\right]$

2. Teil der Lösung:
$g\circ f=g\left(f\left(x\right)\right)$

Es ist $W_f=ℝ\subseteq {ℝ}_0=D_g,$ aber $W_f\cap D_g=ℝ\cap {ℝ}_0={ℝ}_0\ne \cancel{0};$ d.h., wir müssen zunächst den Definitionsbereich $\left[0;8\right]$ von f so einschränken, dass $f\left(x\right)\in {ℝ}_0,$ also $f\left(x\right)\ge 0\iff 5x-10\ge 0\iff 5x\ge 10\iff x\ge 2$ und $x\le 8.$

Dann erhalten wir:
$g\circ f=g\left(f\left(x\right)\right)=\sqrt{5x-10},x\in \left[2;8\right]$

Wichtig: Es ist $f\circ g\ne g\circ f,$ d.h., bei der Verkettung von Funktionen ist die Reihenfolge zu beachten.