Fibonacci

Persönliches

Von LEONARDO kennt man nur wenige Lebensdaten. Er lebte von etwa 1180 bis etwa 1250 und entstammte einer angesehenen Kaufmannsfamilie. Der Vater war Konsularbeamter der Republik Pisa in Tunesien, er bestimmte einen Mauren als Erzieher des Knaben, und dadurch wurde der junge LEONARDO auch mit den mathematischen Leistungen der Araber vertraut gemacht.
Später bereiste LEONARDO als Handelsbeauftragter seiner Heimatstadt u. a. Ägypten, Syrien, Griechenland und Sizilien. Er nutzte diese Gelegenheit, um sich mit den wissenschaftlichen Leistungen jener Völker zu befassen und sie sich autodidaktisch anzueignen. So verbanden sich in LEONARDO gleichsam zwei Kulturkreise.
Das erklärt auch, dass er unter zwei Namen bekannt wurde: Der italienischen Tradition folgend setzte er zum einen hinter das LEONARDO den Namen seiner Vaterstadt (man vergleiche etwa LEONARDO DA VINCI). Zum anderen fügte er nach arabischem Brauch das Wort „Sohn“ und den Namen des Vaters (Bonaccio) an, wobei aus „figlio Bonacci“ verkürzt FIBONACCI wurde, unter welchem Namen er in die Geschichte der Mathematik einging.

FIBONACCIs Beitrag zur Arithmetik – das „Liber abaci“

In Europa lag die Mathematik seit dem Niedergang der griechischen Kultur darnieder. Es waren zunächst die Inder, die mit der Entwicklung der Zahlsysteme und des Rechnens eine neue Blütezeit eingeleitet hatten, und anschließend hatten die Araber mit der Begründung der ebenen und räumlichen Trigonometrie die Entwicklung vorangebracht. Die Situation verlangte geradezu danach, diese Erkenntnisse auch in Europa zu verbreiten, und niemand war dazu besser berufen als FIBONACCI, der all dieses Wissen aufgenommen und auch noch erweitert hatte.
Im Jahre 1202 erschien sein aus 15 Abschnitten bestehendes Werk „Liber abaci“ (Buch vom Abakus), die erste europäische Gesamtdarstellung der Arithmetik. Der Titel des Werkes war allerdings irreführend. FIBONACCI propagierte damit nicht das Rechnen auf dem Abakus, also dem Rechenbrett mithilfe von Plättchen. Er propagierte vielmehr die arabischen Ziffern und das Rechnen mit diesen Zahlen. Das war eine schwierige Aufgabe, denn es bestand ein weitverbreitetes Misstrauen gegen diese Zahlen. So wurde deren Benutzung noch 1299 in Florenz von den Stadtvätern verboten.
Über FIBONACCI wird folgende Begebenheit erzählt: Im Jahre 1225 gab es in Pisa einen der damals üblichen Rechenwettstreite. Die Teilnehmer hatten dabei komplizierte Aufgaben zu lösen. Eine solche Aufgabe war die folgende:

Man suche eine rationale Zahl, deren Quadrat um 5 vermehrt wie auch um 5 vermindert, wieder ein Quadrat ergibt.

FIBONACCI fand als Lösung den Bruch $\frac{41}{12}$, und er ging als glanzvoller Sieger aus dem Wettbewerb hervor. Der Staufenkaiser FRIEDRICH II., der dem Wettstreit beigewohnt hatte, stellte ihm einen Wunsch frei. FIBONACCI erbat sich, der Kaiser möchte die Verbreitung der arabischen Zahlen fördern. Das versprach FRIEDRICH II. zwar, doch auch er konnte sich damit nicht durchsetzen. Beispielsweise dauerte es bis 1494, dass die MEDICI in ihren Verwaltungen generell zu den arabischen Zahlen übergingen. Dennoch trug FIBONACCIs Buch zu ihrer Verbreitung und dem Übergang zur dezimalen Schreibweise bei.

FIBONACCI setzte auch die Verwendung einer Reihe von Begriffen und Symbolen durch. Dazu gehörten

• Begriffe wie etwa Gleichung (equatio), censo für Quadrat, res (Sache) für die Unbekannte;
• Symbole wie der aus dem r (von radix - Wurzel) entwickelte Wurzelhaken oder der Bruchstrich;
• die negativen Zahlen, die er als Schulden auffasste.

Im Grunde wurde im „Liber abaci“ das gesamte mathematische Wissen jener Zeit zusammengefasst, systematisiert und angereichert, und dieses Werk wurde lange Zeit nicht übertroffen. Man findet darin beispielsweise Teilbarkeitsregeln für 2, 3, 5 und 9, ebenso wie die Neunerprobe (und übrigens auch die Elferprobe). Es werden Verfahren zur Ermittlung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) gezeigt, wofür man vorher einfach mit dem Produkt der Zahlen operierte. Zudem werden Lösungsverfahren für Aufgaben mit Proportionalität vorgestellt, Mischungsaufgaben gelöst, Wege zur Lösung von Gleichungssystemen (mit bis zu sieben Unbekannten) gewiesen und Lösungen von Gleichungen auch höheren Grades vorgeführt. Schließlich gibt es Näherungsverfahren für Kubikwurzeln, bei denen man iterativ vorgeht, also immer genauere Werte in eine Formel einsetzt.

Weitere Veröffentlichungen FIBONACCIs

1220 folgte mit der „Practica Geometriae“ (Praxis der Geometrie) ein zweites Werk FIBONACCIs, in dem das geometrische Wissen zusammengestellt und aufbereitet war. Hier fanden sich u. a. ein Näherungswert für $\pi$, der aus dem regelmäßigen 96-Eck abgeleitet wurde, mit $\pi \approx \frac{864}{275}\approx \mathrm{3,141}\mathrm{8...}$, ein Beweis für den Satz des Pythagoras über ähnliche Dreiecke und auch die von den Arabern entwickelte Trigonometrie.
Im Jahre 1225 erschien schließlich noch das „Liber quadratorum“ (Buch der Quadrate).

Die Fibonacci-Folge (die fibonaccischen Zahlen)

Vieles in seinen Werken hat FIBONACCI von Vorgängern übernommen und „nur“ systematisiert und bereichert. Mit einer Entdeckung ist indes sein Name bis heute verbunden. Den Ausgangspunkt dafür bildete eine zunächst sonderbar anmutende Problemstellung:

Wie viele Kaninchenpaare können in einem Jahr von einem einzigen Paar erzeugt werden, wenn Folgendes gelten soll:
(1) Das Paar bringt monatlich ein neues Paar zur Welt.
(2) Jedes neue Paar erzeugt vom zweiten Monat an monatlich ein neues Paar.
(3) Es gibt in dieser Zeit keine Todesfälle.

Im ersten und zweiten Monat ist nur ein Paar vorhanden, im dritten Monat sind es bereits zwei Paare. Im vierten Monat kommen vom ersten Paar ein neues und im fünften Monat vom ersten und zweiten Paar je ein neues hinzu, sodass dann insgesamt fünf Paare vorhanden sind. Das ergibt für die Gesamtzahlen die Folge

1; 1; 2; 3; 5; ...

Setzt man vor das erste Glied als weiteres Glied eine 1, so erhält man die sogenannte Fibonacci-Folge (die fibonaccischen Zahlen):

Es gilt $u_n=u_{n-1}+u_{n-2}$, d. h., jedes Glied ergibt sich als Summe der beiden vorangehenden. Es handelt sich damit um die erste bekannt gewordene rekursiv definierte Folge (interaktives Rechenbeispiel).
FIBONACCI untersuchte diese Folge und fand viele bemerkenswerte Eigenschaften wie:

• Die Summe der ersten n Glieder ist $s=u_{n+2}-1$
  (z. B.: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 = 13 – 1).
• Sind die Indizes (Gliednummern) durch einander teilbar, dann sind es auch die Anzahlen
  (z. B.: 5/10 und 5/55).
• Die Summe aus den Quadraten zweier benachbarter fibonaccischer Zahlen ergibt wieder eine Fibonacci-Zahl
  (z. B.: $5^2+8^2=25+64=89$ ).

Erst viel später stellte sich heraus, dass diese Folge ganz unerwartet in anderen mathematischen Problemen eine Rolle spielt, etwa beim Goldenen Schnitt und beim pascalschen Dreieck, und dass zum Beispiel auch die Verästelungen bei Bäumen gewöhnlich diesem Bildungsgesetz folgen.