Parallelität

Parallelität - Besondere Lagebeziehungen von Geraden in der Ebene

Zwei Geraden sind genau dann parallel zueinander,

• wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben (Bild 1)
  oder
• wenn sie gleich sind (Bild 2).

Zeichen: g || h

Zu jeder Geraden g gibt es beliebig viele Parallelen. Beispielsweise durch Parallelverschiebung können sie gezeichnet werden. Durch Angabe eines Punktes P wird aus allen diesen Parallelen eindeutig genau jene Gerade h ausgewählt, die durch P verläuft (Bild 3). Andererseits kann durch jeden Punkt P, der mit einer Geraden in einer Ebene liegt, nicht aber zur Geraden gehört, genau eine Gerade g' gezogen werden, die zu g parallel ist.

Diese uns aus der Anschauung gut vertraute und als wahr angesehene Tatsache wird als euklidisches Parallelenaxiom bezeichnet:

Zu jeder Geraden g und jedem Punkt P, der nicht zu g gehört, gibt es genau eine Gerade h, die zu g parallel ist und zugleich durch P geht.

Für die Relation „... ist parallel zu ...“ zwischen Geraden gilt:

• Jede Gerade g ist zu sich selbst parallel, d. h. stets gilt g || g.
• Wenn g parallel zu h ist, dann ist stets auch h parallel zu g.
• Wenn g || h und h || k, so ist stets auch g || k.

Wird ein Punkt einer Geraden g mit allen Punkten einer zu g parallelen Geraden h verbunden, so gibt es eine kürzeste unter allen Verbindungsstrecken. Sie gibt den Abstand der Parallelen an, der für alle Punkte gleich ist, d. h., parallele Geraden nähern und entfernen sich nicht, sie schneiden einander nicht (Bild 4).

Beispiel:
Die stets parallel verlaufenden Schienen der Bahn haben einen festen Abstand, der gewöhnlich 143,5 cm beträgt, in Russland aber 152,4 cm und in Spanien und Portugal sogar 167,0 cm.

Auch die Kreislinien konzentrischer Kreise verlaufen parallel zueinander, da ihr Abstand stets gleich bleibt.

Erzeugen paralleler Geraden:

• Zeichnen einer Parallelen zu einer Geraden durch einen Punkt außerhalb der Geraden (Grundkonstruktion)
• Zeichnen mittels Parallelverschiebung (Lineal und Dreieck, Geodreieck, Parallelenschablone)
• Falten einer parallelen Linie

Die Konstruktion der Parallelen zu einer Geraden g durch einen Punkt P ist damit stets eindeutig.

Die Richtung einer Geraden

Alle Geraden der Ebene können hinsichtlich der Relation „... ist parallel zu ...“ miteinander verglichen werden. Dabei wird die Menge aller Geraden in Teilmengen (in sogenannte Klassen) zerlegt. Zueinander parallele Geraden kommen in die gleiche Teilmenge.
Das gemeinsame Merkmal aller Geraden einer Klasse ist ihre gleiche (Aus-) Richtung in der Ebene.
Die Richtung einer Geraden g ist die Menge aller zu g paralleler Geraden. Zeichen: R(g) = {h: h || g}
Parallele Geraden haben die gleiche Richtung. Haben zwei Geraden verschiedene Richtungen, so schneiden sie einander in einem Punkt.

Parallelität im Raum

Zu jeder Geraden g des Raumes gibt es beliebig viele Parallelen. Verlaufen sie in einem vorgeschriebenen Abstand a, so bilden sie die Mantellinien einer Kreiszylinderfläche mit dem Radius a und der Achse g. Zu jedem Punkt P des Raumes gibt es eine und nur eine Parallele g' zu einer Geraden g (Bild 5).

Die Gesamtheit aller zueinander paralleler Geraden im Raum nennt man Parallelgeradenbündel. Wählt man aus diesem Geradenbündel nur die Geraden aus, die in einer Ebene liegen, so erhält man ein Parallelgeradenbüschel.

Eine Gerade ist zu einer Ebene parallel, wenn sie mit ihr keinen Punkt gemeinsam hat oder wenn sie ganz in ihr liegt.

Zwei Ebenen des Raumes, die keinen Punkt gemeinsam haben oder aber zusammenfallen, heißen parallele Ebenen.
Parallele Ebenen haben die gleiche Stellung im Raum (Bild 6).

Die Menge aller Ebenen des Raumes, von denen keine mit irgendeiner anderen einen Punkt gemeinsam haben, bezeichnet man als Parallelebenenbüschel.

Der Abstand zweier paralleler Ebenen ist bestimmt durch die Länge einer Strecke, die einen Punkt der einen Ebene mit einem Punkt der anderen Ebene so verbindet, dass diese Strecke zu beiden Ebenen senkrecht ist.