e/m-Bestimmung

Bild 1 zeigt eine Versuchsanordnung mit einem Fadenstrahlrohr.

Bestimmung der spezifischen Ladung mit dem Fadenstrahlrohr

Eine relativ einfache Bestimmung der grundlegenden Naturkonstanten e/m zu kann mithilfe eines sogenannten Fadenstrahlrohres erfolgen. Das ist eine kugelförmige evakuierte Röhre mit einem Füllgas, einer heizbaren Katode und einer Anode. Durch die Katode werden Elektronen emittiert, durch eine Spannung zwischen Katode und Anode beschleunigt und durch Blenden ein feiner Strahl, ein Elektronenstrahl, ausgeblendet. Durch Ionisation des Füllgases wird die Bahn des Elektronenstrahls sichtbar.
Bringt man das Fadenstrahlrohr so in ein homogenes Magnetfeld, dass die Bewegungsrichtung der Elektronen und die Richtung des Magnetfeldes senkrecht zueinander sind, dann wirkt die LORENTZ-Kraft als Radialkraft. Die Elektronen bewegen sich auf einer Kreisbahn (Bild 2). Das erforderliche homogene Magnetfeld erzeugt man durch HELMHOLTZ-Spulen.

Da die Radialkraft die LORENTZ-Kraft ist, kann man setzen:

$\begin{array}{l}\text{Radialkraft}=\text{LORENTZ-Kraft}\\ m\cdot \frac{v^2}{r}=e\cdot v\cdot B\\ \text{Die Divion durch}v\text{ergibt:}\\ m\cdot \frac{v}{r}=e\cdot B\text{(1)}\\ \text{Die Geschwindigkeit}v\text{ergibt sich aus der Beschleunigungsspannung}\\ \text{zwischen Katode und Anode zu:}\\ v=\sqrt{2U\cdot \frac{e}{m}}\text{(2)}\\ \text{Setzt man (2) in (1) ein}\text{, so erhält man:}\\ m\cdot \frac{\sqrt{2U\cdot \frac{e}{m}}}{r}=e\cdot B\\ \text{Quadrieren der Gleichung ergibt:}\\ m^2\cdot \frac{2U\cdot e}{r^2\cdot m}=e^2\cdot B^2\text{oder}\\ m\cdot \frac{2U}{r^2}=e\cdot B^2\\ \text{Durch Umstellen nach der spezifischen Ladung erhält man:}\\ \frac{e}{m}=\frac{2U}{r^2\cdot B^2}\\ U\text{Beschleunigungsspannung}\\ \text{(Spannung zwischen Katode und Anode)}\\ r\text{Radius der Kreisbahn}\\ B\text{magnetische Flussdichte im Feld der}\\ \text{HELMHOLTZ-Spulen}\end{array}$

Alle rechts stehenden Größen sind messbar, damit die spezifische Ladung experimentell ermittelbar. Die magnetische Flussdichte kann man aus den Abmessungen der HELMHOLTZ-Spulen, ihrer Windungszahl und der Stromstärke in ihnen berechnen oder mit einer HALL-Sonde direkt messen.

Bestimmung der spezifischen Ladung mit einer Katodenstrahlröhre

Eine andere Möglichkeit der Bestimmung der spezifischen Ladung von Elektronen besteht darin, mit einer Katodenstrahlröhre (braunsche Röhre) einen Elektronenstrahl zur erzeugen (Bild 3) und diesen Elektronenstrahl einem homogenen Magnetfeld auszusetzen, wobei auch hier die Bewegungsrichtung der Elektronen und die Feldrichtung senkrecht zueinander sind. Das homogene Magnetfeld kann das zwischen HELMHOLTZ-Spulen sein. Man kann aber auch das relativ schwache und in einem kleinen Raumbereich konstante Magnetfeld der Erde nutzen. Dann müsste man folgendermaßen vorgehen:

• Die Katodenstrahlröhre wird horizontal befestigt. Da ferromagnetische Stoffe die Messung beeinflussen, müssen Halterungen aus Aluminium oder Holz verwendet werden.
• Mithilfe eines Kompasses wird die Längsachse der Röhre in Nord-Süd-Richtung ausgerichtet und die Röhre in Betrieb genommen. Die Bewegungsrichtung der Elektronen stimmt dann mit der Richtung des Magnetfeldes überein. Die Elektronen werden demzufolge durch das Magnetfeld nicht beeinflusst. Mit Filzstift wird ein markanter Punkt des Leuchtflecks auf dem Leuchtschirm markiert.
• Anschließend wird die Röhre in Ost-West-Richtung bzw. in West-Ost-Richtung gedreht und jeweils der gleiche Punkt des Leuchtflecks markiert. Der Abstand zwischen diesen beiden Punkten (2s) wird gemessen.

Aus der Ablenkung s und dem Abstand zwischen Anode und Leuchtschirm kann man den Radius der Kreisbahn ermitteln (Bild 4). Nach dem Satz von PYTHAGORAS gilt:
$\begin{array}{l}{r}^2=l^2+{(}^r\\ \text{Auflösen der Klammer und Umstellen nach dem Radius}\\ \text{ergibt:}\\ r=\frac{l^2}{2s}+\frac{s}{2}\end{array}$

Kennt man den Radius, so kann man zur Berechnung der spezifischen Ladung die oben genannte Gleichung
$\frac{e}{m}=\frac{2U}{r^2\cdot B^2}$
nutzen. U ist die zwischen Katode und Anode anliegende Beschleunigungsspannung. Die magnetische Flussdichte des Erdmagnetfeldes kann man Tabellen entnehmen oder direkt messen.

Hinweis: Die Ablenkung von Elektronen in elektrischen Feldern ist nicht zur e/m-Bestimmung geeignet, da sie von der spezifischen Ladung unabhängig ist.