Erhaltungssätze in der speziellen Relativitätstheorie

Das Gesetz von der Erhaltung der Masse

Der Masseerhaltungssatz ist in der klassischen Physik ein eigenständiges Gesetz. Er besagt, dass sich in einem abgeschlossenen System die Gesamtmasse nicht ändert, also gilt:

$m={\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i}=\text{konstant}$

In der Relativitätstheorie sind aber nach dem Äquivalenzprinzip Masse und Energie äquivalent. Das bedeutet: In einem allgemeinen Energieerhaltungssatz ist bei Einbeziehung des Äquivalenzprinzips das Gesetz von der Erhaltung der Masse mit enthalten. Es ist somit in der Relativitätstheorie überflüssig, den Masseerhaltungssatz als ein gesondertes Gesetz zu formulieren.

Das Gesetz von der Erhaltung der Energie

Der Energieerhaltungssatz gilt für alle Bereiche der Physik und darüber hinaus uneingeschränkt. Er lautet:

In einem abgeschlossenen System ist die Summe aller Energien konstant.
$E={\displaystyle \sum _{i=1}^n{E}_i}=\text{konstant}$
Zu beachten ist hierbei, dass in die Bilanz alle Energien einbezogen werden, die im System vorhanden sind. Aus klassischer Sicht sind das alle dort bekannten Energieformen. Aus relativistischer Sicht ist auch die Ruheenergie mit einzubeziehen. Damit setzt sich die Energie eines Körpers folgendermaßen zusammen:

$\begin{array}{l}E=E_0+\Delta E\\ E=m_0\cdot c^2+\Delta m\cdot c^2\\ E=m\cdot c^2=\frac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\cdot c^2\end{array}$

Die Gesamtenergie eines Systems ergibt sich aus der Summe der Einzelenergien.

Das Gesetz von der Erhaltung des Impulses

Der Impulserhaltungssatz der klassischen Physik besagt, dass in einem abgeschlossenen System die Summe aller Impulse konstant ist, also gilt:

$\overrightarrow{p}={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\overrightarrow{p}}_i}={\displaystyle \sum _{i=1}^n{m}_i}\cdot {\overrightarrow{v}}_i=\text{konstant}$

Aus relativistischer Sicht muss die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse beachtet und einbezogen werden. Damit kann man für die Relativitätstheorie formulieren:
In einem abgeschlossenen System ist der Gesamtimpuls konstant. Es gilt:
$\begin{array}{l}\overrightarrow{p}={\displaystyle \sum _{i=1}^n{\overrightarrow{p}}_i}={\displaystyle \sum _{i=1}^n\frac{m_{\mathrm{0,}i}\cdot {\overrightarrow{v}}_i}{\sqrt{1-v^2/c^2}}}=\text{konstant}\\ p\text{Gesamtimpuls}\\ p_i\text{Impulse der einzelnen Körper}\\ m_{\mathrm{0,}i}\text{Ruhemassen der einzelnen Körper}\\ v_i\text{Geschwindigkeiten der einzelnen Körper}\\ c\text{Lichtgeschwindigkeit}\end{array}$

Zusammenhang zwischen relativistischem Impuls und relativistischer Energie

In der klassischen Physik sind Energieerhaltungssatz und Impulserhaltungssatz zwei voneinander unabhängige Erhaltungssätze. Im Gegensatz dazu sind diese Erhaltungssätze in der Relativitätstheorie miteinander verknüpft, wie sich aus der folgenden Überlegung ergibt:
$\begin{array}{l}\text{Aus}m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\text{folgt durch Umstellung:}\\ m\cdot \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=m_0\\ \text{Durch Quadrieren der Gleichung erhält man:}\\ m^2\cdot \left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)=m_0{}^2\\ \text{Eine Weiterung mit}{c}^2\text{und Auflösung der Klammer ergibt:}\\ m^2\cdot c^2-m^2\cdot v^2=m_0{}^2\cdot c^2\\ \text{Mit}m\cdot c^2=E,m\cdot v=p\text{und}{m}_0\cdot c^2=E_0\text{erhält man:}\\ m\cdot E-p^2=m_0\cdot E_0\\ \text{Durch Multiplikation der Gleichung mit}{c}^2\text{ergibt sich:}\\ m\cdot c^2\cdot E-p^2\cdot c^2=m_0\cdot c^2\cdot E_0\text{oder}\\ E^2-p^2\cdot c^2=E_0{}^2\end{array}$

Damit erhält man in der Relativitätstheorie als grundlegenden Zusammenhang zwischen dem Impuls und der Energie eines Körpers die Gleichung:
$p^2\cdot c^2=E^2-E_0{}^2$

Folgerungen aus dem Zusammenhang von Impuls und Energie

Wird die genannten Gleichung nach der Ruheenergie umgestellt, so erhält man:

$E_0{}^2=E^2-p^2\cdot c^2$

Die Ruheenergie ist für einen Körper konstant und in jedem beliebigen Inertialsystem gleich. Demzufolge ist auch der auf der rechten Seite der Gleichung stehende Term konstant und invariant gegenüber der LORENTZ-Transformation.

Aus dem Zusammenhang zwischen relativistischem Impuls und Energie ist es auch möglich, Aussagen zu Objekten ohne Ruhemasse zu treffen. Solche Objekte sind z.B. Photonen, die sich stets mit Lichtgeschwindigkeit bewegen und keine Ruhemasse haben. Aus der obigen Gleichung folgt mit der Ruheenergie null:

$\begin{array}{l}{E}^2=p^2\cdot c^2\text{oder}\\ E=p\cdot c\\ \text{Da für}p=m\cdot c\text{gilt}\text{, ergibt sich die Gleichung:}\\ E=m\cdot c^2\text{oder}\\ m=\frac{E}{c^2}\end{array}$

Mithilfe dieser Gleichung kann man z.B. die Masse eines Photons, die man auch als Ersatzmasse oder dynamische Masse bezeichnet, berechnen.