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Eine nichtleere Menge G von Elementen a, b, c, ... heißt Gruppe, wenn in ihr eine Operation $\circ$ erklärt ist, die folgenden Axiomen genügt:

1. Die Operation $\circ$ ist assoziativ,
   d.h. für alle Elemente $a,b,c\in G$ gilt $a\circ \left(b\circ c\right)=\left(a\circ b\right)\circ c$.
2. Die Operation $\circ$ ist umkehrbar, d.h. zu beliebigen Elementen $a,b\in G$ sind die Gleichungen $a\circ x=b$ und $y\circ a=b($ mit $x\in G$ und $y\in G)$ lösbar.

Man nennt G eine abelsche Gruppe, wenn zusätzlich noch gilt:

3. Die Operation $\circ$ ist kommutativ, d.h. für alle $a,b\in G$ gilt $a\circ b=b\circ a$.

In den mathematischen Arbeitsgebieten und in vielen Anwendungsfeldern trifft man auf Größen, die man ähnlich wie Vektoren im Anschauungsraum addieren und mit einem Zahlenfaktor multiplizieren kann. Man beobachtet auch, dass dieselben grundlegenden Rechengesetze gelten.
Zwecks einheitlicher Untersuchung der sich daraus ergebenden Konsequenzen wurde der Begriff des (abstrakten) Vektorraumes eingeführt und eine weit verzweigte allgemeine Vektorraumtheorie aufgebaut.