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Die Betrachtung der Bedingungen der Vektorraumdefinition führen zur Definition eines Unterraumes sowie dem Unterraumkriterium und weiter zum Begriff des Erzeugendensystems. Es werden Beispiele von Unterräumen spezieller Vektorräume angeführt.

In den mathematischen Arbeitsgebieten und in vielen Anwendungsfeldern trifft man auf Größen, die man ähnlich wie Vektoren im Anschauungsraum addieren und mit einem Zahlenfaktor multiplizieren kann. Man beobachtet auch, dass dieselben grundlegenden Rechengesetze gelten.
Zwecks einheitlicher Untersuchung der sich daraus ergebenden Konsequenzen wurde der Begriff des (abstrakten) Vektorraumes eingeführt und eine weit verzweigte allgemeine Vektorraumtheorie aufgebaut.

Eine Funktion f, deren Funktionsterm ein Quotient zweier Polynome $p\left(x\right)$ und $q\left(x\right)$ ist, heißt gebrochenrationale Funktion. Man unterscheidet zwischen echt und unecht gebrochenrationalen Funktionen.
Durch Polynomdivision kann der Funktionsterm einer unecht gebrochenrationalen Funktion in einen ganzrationalen und einen echt gebrochenrationalen Term zerlegt werden.

Der Begriff des Ringes baut auf dem Begriff Gruppe auf und gehört ebenso wie dieser zu den grundlegenden Strukturbegriffen der Algebra. Während bei der Gruppe nur eine zwischen den Elementen erklärte Verknüpfung betrachtet wird, werden beim Ring gleichzeitig zwei Verknüpfungen in ihrem gegenseitigen Zusammenhang betrachtet.
Die Addition und die Multiplikation sind in den Zahlenbereichen $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},ℝ$ und $ℂ$ Operationen, die distributiv miteinander verknüpft sind.

Ein Beispiel für endliche Ringe sind Restklassenringe.