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Ist f eine nichtrationale Funktion mit der Gleichung y = f(x), dann ist es nicht möglich, zur Annäherung von y = f(x) ein Polynom n-ter Ordnung zu verwenden, dessen Koeffizienten mit den Ableitungen von y = f(x) an der Stelle $x_0$ in derselben Weise gebildet werden, wie die Koeffizienten der TAYLOR-Entwicklung einer ganzrationalen Funktion.

Dies ergibt sich bereits daraus, dass – im Unterschied zu ganzrationalen Funktionen n-ten Grades – die (n + 1)-te Ableitung und alle weiteren Ableitungen einer nichtrationalen Funktion im Allgemeinen nicht identisch gleich null sind.

Das heißt: Die Entwicklung einer solchen Funktion an einer Stelle $x_0$ „bricht nicht ab“, sondern würde zu einer Summe mit unendlich vielen Summanden (Reihe) führen. Man spricht deshalb auch von der Entwicklung einer Funktion in eine TAYLOR-Reihe.
An zwei Beispielen wird gezeigt, dass sich die Sinus- und auch die Kosinusfunktion in eine TAYLOR-Reihe entwickeln lassen.