Einkommensteuerfunktion

Dabei wird ein gewisser Grundbetrag steuerfrei gestellt. Danach erfolgt bis zu einer Obergrenze die Besteuerung progressiv. Das heißt, in diesem Bereich wächst die zu zahlende Steuer nicht einfach linear mit dem zu versteuernden Einkommen sondern schneller. Eingangssteuersatz, Spitzensteuersatz und Gestaltung der Progression werden durch den Gesetzgeber festgelegt und sind oftmals Gegenstand politischer Auseinandersetzungen.

Hinter diesen Tabellen steht die sogenannte Steuerfunktion. Man könnte nun annehmen, dass dies wegen der Progression eine Exponentialfunktion ist. Dies ist aber nicht der Fall.

Die Steuerfunktion wird im § 32a Einkommensteuertarif wie folgt definiert:
(1) Die tarifliche Einkommensteuer bemisst sich nach dem zu versteuernden Einkommen. Sie beträgt vorbehaltlich der §§ 32b, 34 und 34c jeweils in Euro für zu versteuernde Einkommen

• bis 7.235 Euro (Gundfreibetrag): 0
• von 7.236 Euro bis 9.251 Euro: $(\mathrm{768,85}y+1.990)y$
• von 9.252 Euro bis 55.007 Euro: $(\mathrm{278,65}z+2.300)z$
• von 55.008 Euro an: $\mathrm{0,485}x-9.872$

(y ist ein Zehntausendstel des 7.200 Euro übersteigenden Teiles des nach Absatz 2 ermittelten zu versteuernden Einkommen; z ist ein Zehntausendstel des 9.216 Euro übersteigenden Teiles des nach Absatz 2 ermittelten zu versteuernden Einkommen; x ist das nach Absatz 2 ermittelte zu versteuernden Einkommen)
(2) Das zu versteuernde Einkommen ist auf den nächsten durch 36 ohne Rest teilbaren vollen Euro-Betrag abzurunden, wenn es nicht bereits durch 36 ohne Rest teilbar ist, und um 18 Euro zu erhöhen.
(3) Die zur Berechnung der tariflichen Einkommensteuer erforderlichen Rechenschritte sind in der Reihenfolge auszuführen, die sich nach dem Horner-Schema ergibt. Dabei sind die sich aus den Multiplikationen ergebenden Zwischenschritte für jeden weiteren Rechenschritt mit drei Dezimalstellen anzusetzen, die nachfolgenden Dezimalstellen sind fortzulassen. Der sich ergebende Steuerbetrag ist auf den nächsten vollen Euro-Betrag abzurunden.
Soweit der Gesetzestext, der die Steuerfunktion definiert. In weiteren Absätzen werden das sogenannte Ehegattensplitting (Absatz 5) sowie das Vorgehen beim Tod eines Ehegatten und bei Scheidung (Absatz 6) festgelegt.

In der Sprache der Mathematik kann man die im Gesetz definierte Steuerfunktion folgendermaßen beschreiben:

1. Die Steuer s ist eine Funktion des zu versteuernden Einkommens x. Es gilt:
   $s=f(x)$
2. x ist nicht stetig, sondern diskret und zwar in Schritten von 36 Euro.
   (Beispiel: Alle Einkommen zwischen 7.272 und 7.307 Euro werden mit 7.290 Euro angesetzt, alle Einkommen zwischen 7.308 und 7.343 Euro werden mit 7.326 Euro angesetzt, alle Einkommen zwischen 7.344 und 7.380 Euro werden mit 7.362 Euro angesetzt usw.)
   Damit führt unter Umstände eine Einkommenssteigerung um 1 Euro zur Erhöhung des zu versteuernden Einkommens um 36 Euro. Gute Steuerprogramme weisen auf solche Tabellensprünge hin.
3. Die Funktion $s=f(x)$ ist in vier Intervallen definiert:
   a) im Intervall von 0 Euro bis 7.235 Euro;
   b) im Intervall von 7.236 Euro bis 9.251 Euro;
   c) im Intervall von 9.252 Euro bis 55.007 Euro;
   d) im Intervall von 55.008 Euro bis unendlich
   Im Intervall von 0 Euro bis 7.235 Euro handelt es sich um die konstante Funktion $s=0$.
4. Im Intervall von 7.236 Euro bis 9.251 Euro liegt eine quadratische Zuordnung vor, es gilt:
   $\begin{array}{c}s=(\mathrm{768,85}y+1990)y\\ =\mathrm{768,85}{y}^2+1990y\text{ mit }y=(x-7200)\cdot {10}^{-4}\end{array}$
5. Im Intervall von 9.252 Euro bis 55.007 Euro liegt ebenfalls eine quadratische Zuordnung vor, es gilt:
   $\begin{array}{c}s=(\mathrm{278,65}z+2300)z+432\\ =\mathrm{278,65}{z}^2+2300z+432\text{ mit }z=(x-9216)\cdot {10}^{-4}\end{array}$
6. Im Intervall von 55.008 Euro bis unendlich handelt es sich um eine lineare Funktion, es gilt:
   $s=\mathrm{0,485}x-9872$
   Damit wird jeder Einkommenszuwachs über 55.008 Euro mit 48,5% (als derzeitigem Spitzensteuersatz) versteuert.

Wie die nachfolgenden (mit EXCEL vorgenommenen) Berechnungen zeigen, ist mit dieser Definition erreicht, dass an den Intervallgrenzen keine großen Sprünge auftreten, wenngleich von Stetigkeit im streng mathematischem Sinn schon wegen der Diskretheit der unabhängigen Variablen x nicht gesprochen werden kann.
Anmerkung: In den einzelnen Intervallen sind nur einige Werte angegeben, wobei (in Übereinstimmung mit der Steuerpraxis) die Einheit Euro nicht jedesmal gesondert genannt wird.

Intervall 2

Intervall 3

Intervall 4

Man erkennt, dass die s-Werte an den Intervallgrenzen übereinstimmen, die Funktion also keine großen Sprünge beinhaltet.