Lagebeziehungen zweier Kreise

Anhand des sogenannten Vierpass, in dem alle möglichen Lagebeziehungen vorkommen, sollen mögliche Lagebeziehungen zweier Kreise diskutiert werden.

Vierpass

Vierpass

Die Kreise k 1 u n d k 4 haben keinen Punkt gemeinsam. Zusätzlich weisen sie eine besondere Lage zueinander auf – sie besitzen denselben Mittelpunkt. Zwei Kreise in dieser Lage nennt man auch konzentrisch.

Die Kreise k 2 u n d k 3 haben genau einen Punkt gemeinsam. Dieser gemeinsame Punkt heißt auch Berührungspunkt der Kreise k 2 u n d k 3 . In diesem Fall ist der Ursprung O der Berührungspunkt.

Ganz allgemein liegt der Berührungspunkt B zweier Kreise k und k' immer auf der Verbindungsgeraden der beiden Mittelpunkte M und M' der beiden Kreise, denn läge er dort nicht, so würde man durch Spiegelung von B an M M ' ¯ einen zweiten Punkt B ' B erhalten, der ebenfalls auf beiden Kreisen läge. Damit läge ein Widerspruch zur Eindeutigkeit des Berührungspunktes B vor.

Die Kreise k 1 u n d k 2 schneiden sich in genau zwei Punkten (Schnittpunkten).

Da der Umkreis eines Dreiecks eindeutig bestimmt ist, können zwei verschiedene Kreise auch nicht mehr als zwei Punkte gemeinsam haben. Daraus ergibt sich auch die folgende allgemeine Aussage.

  • Satz: Schneiden sich zwei Kreise k und k' in den zwei Punkten A und B, so steht die Gerade durch A und B senkrecht auf der Verbindungsgeraden der beiden Kreismittelpunkte M 1 u n d M 2 .

Beweis:
Der Punkt A kann nach obiger Überlegung nicht auf der Verbindungsgeraden der beiden Mittelpunkte liegen. Spiegelt man den Punkt A nun an M 1 M 2 ¯ , so liegt der Bildpunkt A' offenbar auch auf beiden Kreisen k und k', es muss also A ' = B gelten.

Bild

Wir wollen jetzt die Lagebeziehung zweier Kreise analytisch bestimmen. Auch bei Kreisen gilt wie bei Geraden und Ebenen:

Schnittgebilde geometrischer Objekte erhält man, indem man nach gemeinsamen Lösungen der Gleichungen sucht, die die entsprechenden Objekte beschreiben.

Dazu notwendige Rechnungen sind auch beim Kreis nicht besonders schwierig. Würden wir jedoch ganz allgemein mit unbekannten Koeffizienten arbeiten, gänge wohl die Übersicht sehr schnell verloren. Daher soll ein typisches Beispiel genügen, an dem alle notwendigen Schritte besprochen werden.

  • Beispiel: Es soll untersucht werden, wie der Kreis mit dem Mittelpunkt M 1 ( 0 ; 3 ) und dem Radius r 1 = 1 L E und der Kreis mit dem Mittelpunkt M 2 ( 3 ; 0 ) mit dem Radius r 2 = 7 L E zueinander liegen.

Die Koordinaten ( x S ; y S ) möglicher gemeinsamer Punkte müssen den Gleichungen beider Kreise genügen, es muss also gelten:
( I ) x S 2 + ( y S 3 ) 2 = 1 ( I I ) ( x S 3 ) 2 + y S 2 = 7

Wir lösen nun zunächst die Klammern auf:
( I ' ) x S 2 + y S 2 6 y S + 9 = 1 ( I I ' ) x S 2 6 x S + 9 + y S 2 = 7

Subtrahiert man nun die zweite Gleichung von der ersten, entfallen alle quadratischen Glieder:
6 x S 6 y S = 6 b z w . y S = x S + 1 ( )

Wir setzen diese Gleichung in (I) ein, rechnen die Klammern aus und erhalten schließlich:
x S 2 2 x S + 3 2 = 0 ( )

An dieser Stelle entscheidet sich in diesem Beispiel aber auch ganz allgemein die Lagebeziehung der beiden betrachteten Kreise. Unsere Überlegungen haben zu einer quadratischen Gleichung in x S geführt, die keine, genau eine oder zwei verschiedene Lösungen besitzen kann.

Entsprechend haben die durch die Gleichungen (I) und (II) beschriebenen Kreise keinen, genau einen oder genau zwei Punkte gemeinsam. Die Lösungsmenge – also auch die Lagebeziehung der beiden Kreise – hängt ab von der Diskriminante D, für die in diesem Fall D = 1 3 2 < 0 gilt. Die Gleichung ( ) besitzt also keine reelle Lösung und folglich haben die beiden von uns betrachteten Kreise keinen Punkt gemeinsam.

Hätten sich Lösungen ergeben, so könnten die y-Koordinaten der gemeinsamen Punkte problemlos mit der Gleichung ( ) bestimmt werden.
Da eine quadratische Gleichung nicht mehr als zwei Lösungen besitzen kann, können zwei verschiedene Kreise nicht mehr als zwei Punkte gemeinsam haben. Dies bestätigt noch einmal unsere weiter oben ausgeführten (abbildungsgeometrischen) Überlegungen.

Anmerkung: Werden Kreise durch vektorielle Gleichungen beschrieben, so kann analog vorgegangen werden oder aus der Vektorgleichung wird eine entsprechende Koordinatengleichung entwickelt.

Stand: 2010
Dieser Text befindet sich in redaktioneller Bearbeitung.

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