Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Eine erste mathematische Definition (häufig als klassische Definition bezeichnet) des Begriffs Wahrscheinlichkeit geht auf den französischen Mathematiker PIERRE SIMON DE LAPLACE (1749 bis 1827) zurück.

Er untersuchte vor allem solche Zufallsexperimente, bei denen es keinen Grund zu der Annahme gibt, dass die Chance für das Eintreten irgendeines seiner Ergebnisse größer ist als eines der anderen Ergebnisse.

Für diesen Fall definierte LAPLACE die Wahrscheinlichkeit $P\left(A\right)$ eines Ereignisses A folgendermaßen:
$P\left(A\right)=\frac{AnzahlderfürAgünstigenErgebnisse}{\text{Anzahl}\text{aller}\text{möglichen}\text{Ergebnisse}}$

Für den Aufbau einer umfassenden Wahrscheinlichkeitstheorie erweist sich ein solches Herangehen allerdings als zu eng. Heute wird die Wahrscheinlichkeit axiomatisch definiert.

Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit

Eine Funktion P, die jeder Teilmenge A einer endlichen
(Ergebnis-)Menge $\Omega$ eine reelle Zahl $P\left(A\right)$ zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung (Wahrscheinlichkeitsfunktion oder auch Wahrscheinlichkeitsmaß), wenn sie folgenden drei Bedingungen genügt:

1. Axiom 1 (Nichtnegativität)
   $P\left(A\right)\ge 0$
2. Axiom 2 (Normiertheit)
   $P\left(\Omega \right)=1$
3. Axiom 3 (Additivität)
   $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$, falls $A\cap B=\varnothing$

Hat man es mit einer Ergebnismenge $\Omega$ zu tun, die nicht endlich ist, so muss das Axiom 3 folgendermaßen erweitert werden:

• Axiom 3* $\text{(σ}\text{-}\text{Additiviät)}$
  $P\left(A_1\cup A_2\cup \mathrm{...}\cup A_n\cup \mathrm{...}\right)=P\left(A_1\right)+P\left(A_2\right)+\mathrm{...}+P\left(A_n\right)+\mathrm{...}$
  (falls die Ereignisse $A_1,A_2,\mathrm{...,}{A}_n,\mathrm{...}$ paarweise unvereinbar sind, d.h., falls $A_i\cap A_j=\varnothing füri\ne j$ ist)

Diese axiomatische Definition geht auf den russischen Mathematiker ANDREJ NIKOLAJEWITSCH KOLMOGOROW (1903 bis 1987) zurück. Er veröffentlichte sie im Jahre 1933. Die sich darauf gründende Wahrscheinlichkeitstheorie ist daher noch ein sehr junger Zweig der Mathematik.

Für die praktische Handhabung dieser abstrakten axiomatischen Definition der Wahrscheinlichkeit ist es sinnvoll, sich folgende Interpretationen zu vergegenwärtigen:

1. Interpretation 1
   Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann interpretiert werden als ein Maß für den Grad der Gewissheit hinsichtlich des Eintretens dieses Ereignisses.
2. Interpretation 2
   Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann interpretiert werden als stabiler Wert der relativen Häufigkeiten dieses Ereignisses. Diese Interpretation basiert auf dem empirischen Gesetz der großen Zahlen.

Aufgrund der Interpretation 2 erwartet man, dass die durch das kolmogorowsche Axiomensystem definierte Wahrscheinlichkeitsverteilung P die gleichen grundlegenden Eigenschaften wie die relativen Häufigkeiten besitzt.

Dies trifft in der Tat zu, denn man kann die folgenden Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten aus dem kolmogorowschen Axiomensystem herleiten, was für die Güte dieses Axiomensystems spricht.

1. Regel 1 (Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses)
   Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses $\varnothing$ beträgt 0, d.h., es gilt:
   $P(\varnothing )=0$
2. Regel 2 (Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses)
   Die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses beträgt 1, d.h., es gilt:
   $P\left(\Omega \right)=1$
3. Regel 3 (Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses)
   Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten all seiner atomaren Ereignisse (Elementarereignisse). Das heißt:
   Umfasst A genau die Ergebnisse $e_{1}bis{e}_m$, so gilt $P\left(A\right)=P\left(\left\{e_1\right\}\right)+P\left(\left\{e_2\right\}\right)+\mathrm{...}+P\left(\left\{e_m\right\}\right)$ und stets $0\le P\left(A\right)\le 1$.
4. Regel 4 (Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses)
   Die Summe der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A und der ihres Gegenereignisses $\overline{A}$ beträgt stets 1, d.h., es gilt:
   $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)$
5. Regel 5 (Additionssatz für zwei Ereignisse)
   Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass A oder B eintritt, addiert man die Wahrscheinlichkeit von A und die von B und subtrahiert von dieser Summe die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sowohl A als auch B eintritt. Es gilt also:
   $P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$
6. Regel 6 (Wahrscheinlichkeit für nach sich ziehende Ereignisse)
   Zieht das Ereignis A das Ereignis B nach sich (impliziert das Ereignis A das Ereignis B bzw. tritt auch das Ereignis B immer ein, wenn das Ereignis A eintritt), so ist die Wahrscheinlichkeit von B niemals kleiner als die von A, d.h., es gilt:
   $A\subseteq B\Rightarrow P\left(A\right)\le P\left(B\right)$

Auch in Situationen, in denen man die Wahrscheinlichkeiten weder durch lange Versuchsreihen noch durch logische Überlegungen bestimmen kann, werden neben qualitativen Bewertungen von Chancen wie „Höchstwahrscheinlich wird die Hofpause heute abgeklingelt“ oder „Es ist fast unmöglich, dass wir für dieses Projekt noch kurzfristig einen Sponsor finden werden“ ebenso quantitative, also zahlenmäßige Bewertungen vorgenommen. Jedoch tragen diese Bewertungen stark subjektiven Charakter. Man nennt sie deshalb subjektive Wahrscheinlichkeiten.