Bedingte Wahrscheinlichkeit

• Als bedingte Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung B bezeichnet man $P_B\left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$, falls $P\left(B\right)\ne 0$ gilt.

Anmerkung: Für die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B\left(A\right)$ ist auch die Schreibweise $P\left(A|B\right)$ üblich. Diese ältere einzeilige Schreibweise $P\left(A|B\right)$ ist schreibtechnisch zwar vorteilhafter als $P_B\left(A\right)$, aber bei der Schreibweise $P_B\left(A\right)$ wird die im Vergleich zu P veränderte Wahrscheinlichkeitsfunktion $P_B$ stärker hervorgehoben.

• Beispiel: Zweimaliges Werfen eines fairen Tetraeders
  Das Ereignis
  $\begin{array}{l}A=\left\{beimzweitenWurfeinehöhereAugenzahlalsbeimersten\right\}\\ =\left\{\left(1;2\right),\left(1;3\right),\left(1;4\right),\left(2;3\right),\left(2;4\right),\left(3;4\right)\right\}\end{array}$
  hat die Wahrscheinlichkeit $\frac{6}{16}$.
  Sei B nun das Ereignis
  $\begin{array}{l}B=\left\{AugensummebeiderWürfe5\right\}\\ =\left\{\left(1;4\right),\left(2;3\right),\left(3;2\right),\left(4;1\right)\right\},\end{array}$
  so gilt $P\left(B\right)=\frac{4}{16}$.
  Folglich ergibt sich:
  $P_B\left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(\left\{\left(1;4\right),\left(2;3\right)\right\}\right)}{P\left(B\right)}=\frac{\frac{2}{16}}{\frac{4}{16}}=\frac{1}{2}$

Jede bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_B$ ist wie P eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die auch den drei kolmogorowschen Axiomen genügt. Folglich gelten für $P_B$ dieselben Rechenregeln wie für P, z.B. $P_B(\varnothing )=0$ und $P_B\left(E\cup F\right)=P_B\left(E\right)+P_B\left(F\right)-P_B\left(E\cap F\right)$.

Jede „unbedingte“ Wahrscheinlichkeit $P\left(A\right)$ kann als bedingte Wahrscheinlichkeit aufgefasst werden, nämlich als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung des sicheren Ereignisses $\Omega$, d.h. $P\left(A\right)=P_{\Omega }\left(A\right)$, weil $P_{\Omega }\left(A\right)=\frac{P\left(A\cap \Omega \right)}{P\left(\Omega \right)}=\frac{P\left(A\right)}{1}=P\left(A\right)$ gilt.

Um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, verwendet man außer ihrer Definition und ihren Rechenregeln häufig als praktische Hilfsmittel Baumdiagramme oder Vierfeldertafeln.

Im Baumdiagramm stellen sich die bedingten Wahrscheinlichkeiten $P_B\left(A\right)$ entsprechend der ersten Pfadregel als Übergangswahrscheinlichkeiten dar (in der folgenden Abbildung links). Um auch die „umgekehrte“ bedingte Wahrscheinlichkeit $P_A\left(B\right)$ als Übergangswahrscheinlichkeit aus einem Baumdiagramm direkt abzulesen, benötigt man das „umgekehrte“ Baumdiagramm (in der folgenden Abbildung rechts).

In den Mengendiagrammen Vierfeldertafel und VENN-Diagramm ist $P_B\left(A\right)$ als der Anteil von A zu interpretieren, der in B liegt, d.h. als das Verhältnis des Flächenmaßes von $A\cap B$ zum Flächenmaß von B, also $P_B\left(A\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}$.

$P_{\Omega }\left(A\right)$ lässt sich auf diese Weise als der Anteil von A interpretieren, der in $\Omega$ liegt. Da dies jedoch das gesamte A ist (es gilt $A\subseteq \Omega$), erhält man $P_{\Omega }\left(A\right)=\frac{P\left(A\cap \Omega \right)}{P\left(\Omega \right)}=\frac{P\left(A\right)}{1}=P\left(A\right)$.

Stimmt für zwei Ereignisse A und B die bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B\left(A\right)$ mit der (unbedingten) Wahrscheinlichkeit $P\left(A\right)$ überein, so sind A und B unabhängig voneinander.