Extremwertprobleme in der Wirtschaft

Beispiel: Ein Warenhaus verkauft jedes Jahr ca. 120 Autokindersitze, die je Stück $80€$ kosten. Die Lieferungen der Sitze vom Hersteller an das Warenhaus sollen gleichmäßig über das Jahr verteilt werden und in k Teilen zu x Stück erfolgen. Dabei wird angestrebt, die Kosten für das Warenhaus möglichst klein zu halten. Eine Lieferung verursacht Kosten von $\mathrm{22,50}€$ für den Transport. Die Kosten für die Zwischenlagerung der Sitze betragen $\mathrm{0,75}€$ pro Stück der Lieferung.

Wie viele Lieferungen sollte das Warenhaus mit dem Hersteller vereinbaren, damit möglichst geringe Gesamtkosten entstehen?

Als ersten Schritt versucht man, eine Zielfunktion für die Gesamtkosten aufzustellen. Sie lautet:
$K_{ges}=K_1+K_2+K_3$
Dabei sind
$K_1$ die Kosten für die Kindersitze,
$K_2$ die Transportkosten und
$K_3$ die Kosten für die Zwischenlagerung jeweils in Euro.

Damit ergibt sich folgende analytische Beschreibung der Gesamtkosten in Euro:
$K_{ges}=120\cdot 80+\mathrm{22,5}\cdot k+\mathrm{0,75}\cdot x$

Diese Funktion ist jedoch schwer zu untersuchen, da sie noch zwei Variable, die Anzahl der Lieferungen k und die Anzahl der Sitze pro Lieferung x enthält. Da 120 Sitze benötigt werden, besteht jedoch zwischen diesen beiden Variablen der Zusammenhang $x\cdot K=120$, den wir als Nebenbedingung bezeichnen.

Arbeitet man diese Nebenbedingung in die obige Funktion ein, so ergibt sich:
$K_{ges}\left(k\right)=9600+\mathrm{22,5}\cdot k+\mathrm{0,75}\cdot \frac{10}{k}=9600+\mathrm{22,5}\cdot k+\frac{90}{k}$

Zur Ermittlung der Extremstellen dieser Funktion bildet man hiervon die 1. Ableitung:
$K_{ges}\prime \left(k\right)=\mathrm{22,5}-\frac{90}{k^2}$

Mögliche Extremstellen der Zielfunktion sind die Nullstellen der 1. Ableitung. Es gilt:
$0=\mathrm{22,5}-\frac{90}{k^2}$
$k^2=4$, also $k_1=2;k_2=-2$

Die Lösung k = - 2 entfällt, da der Definitionsbereich der Zielfunktion auf positive k-Werte einzuschränken ist.

Mithilfe der 2. Ableitung $K\prime \prime \left(ges\right)=\frac{180}{k^3}$ kann man feststellen, dass die Zielfunktion bei k = 2 ein lokales Minimum besitzt. Es gilt nämlich:
$K\prime \prime \left(ges\right)=\frac{180}{8}>0$

Da die Zielfunktion im eingeschränkten Definitionsbereich stetig ist und dort nur eine lokale Extremstelle gefunden wurde, muss das lokale Extremum auch ein globales Extremum der Funktion sein. Zum gleichen Ergebnis gelangte man, wenn man das Verhalten der Zielfunktion an den Rändern des Definitionsbereiches untersuchen würde.

Anhand der dargestellten Untersuchungen gelangt man zu dem Ergebnis, dass bei der Organisation von zwei Lieferungen die Gesamtkosten für das Warenhaus ein Minimum annehmen.