Ableitungsfunktion

Gegeben ist eine Funktion $y=f(x)=x^4$.
Ihr Differenzialquotient in a ist der folgende:
$\begin{array}{l}\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{x^4-a^4}{x-a}\\ =\underset{x\to a}{\lim }\frac{(x-a)(x+a)(x^2+a^2)}{x-a}\\ =\underset{x\to a}{\lim }(x+a)(x^2+a^2)=2a\cdot 2a^2=4a^3\end{array}$
Daher lautet die Gleichung der Ableitungsfunktion von f:
$f^{\prime }(x)=4x^{3}bzw.{\left(x^4\right)}^{\prime }=4x^3$

Im Allgemeinen ist der Definitionsbereich der Ableitungsfunktion nicht gleich dem der zugrunde liegenden Funktion, sondern vielmehr ein Teilbereich davon. Die Definitionsmenge von $f^{\prime }$ umfasst alle Elemente der Definitionsmenge von f, für die Ableitungen existieren.

Beispiele

• $f:x\to mx+c$
  Es gilt: $D_{f^{\prime }}=D_f=ℝ$ und $f^{\prime }:x\to m$
• $f:x\to \sqrt{x}$
  Es gilt: $D_{f^{\prime }}={ℝ}^{+}\subset {ℝ}^{+}{}_0=D_f$ und $f^{\prime }:x\to \frac{1}{2\sqrt{x}}$
• $f:x\to \frac{1}{x}$
  Es gilt: $D_{f^{\prime }}=D_f=ℝ\bcancel{}\left\{0\right\}$ und $f^{\prime }:x\to -\frac{1}{x^2}$
• $f:x\to \left|x\right|$
  Es gilt: $D_{f^{\prime }}=ℝ\bcancel{ }\left\{0\right\}\subset ℝ=D_f$ und $f^{\prime }:x\to \{\begin{array}{c}1fürx>0\\ -1fürx<0\end{array}$

Beachten Sie: Es ist stets $D_{f^{\prime }}\subseteq D_f$.

Ableitungsfunktionen elementarer Funktionen

Wenn eine Funktion nur durch ihren Funktionsgraphen gegeben ist, dann kann man ihre Ableitungsfunktion näherungsweise durch grafisches Differenzieren bestimmen.