Ableitung von Funktionen in Parameterdarstellung

Es gilt: Eine in Parameterdarstellung gegebene Funktion y = f(x) mit x = $\varphi (t)$ und y = $\psi (t)$ ist differenzierbar, wenn die Ableitungen von $\varphi$ und $\psi$ nach t existieren und $\varphi \text{'}(t)\ne 0$.

Die Ableitungsfunktion lautet dann f'(x) = $\frac{\psi \text{'}(t)}{\varphi \text{'}(t)}$.

Beweis:
Aus $\frac{dy}{dt}=\frac{d\psi (t)}{dt}=\psi \text{'}(t)$ und $\frac{dx}{dt}=\frac{d\varphi (t)}{dt}=\varphi \text{'}(t)$ erhält man $\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{dy}{dx}=\frac{\psi \text{'}(t)}{\varphi \text{'}(t)}$.

Anmerkung: Um die Ableitung nach dem Parameter t von der Ableitung nach x in $\frac{dy}{dx}$ zu unterscheiden, werden Ableitungen nach dem Parameter t häufig nicht mit einem nachgestellten Strich, sondern durch einen Punkt über den betreffenden Variablen gekennzeichnet. Es gilt also:
$\stackrel{.}{x}=\frac{d[\varphi (t)]}{dt};\stackrel{.}{y}=\frac{d[\psi (t)]}{dt}$

Beispiel

Die Parameterdarstellung einer Astroide lautet
$x=\varphi (t)={\sin }^{3}t$;
$y=\psi (t)={\cos }^{3}t$.

Die Ableitungen sind dann:
$\stackrel{.}{x}=\frac{d[\varphi (t)]}{dt}=3{\sin }^{2}t\cdot \cos t$;
$\stackrel{.}{y}=\frac{d[\psi (t)]}{dt}=3{\cos }^{2}t\cdot \sin t$

Daraus ergibt sich:
Dieser Quotient ist $f\text{'}(x)=\frac{\psi \text{'}(t)}{\varphi \text{'}(t)}=\frac{-3{\cos }^{2}t\cdot \sin t}{3{\sin }^{2}t\cdot \cos t}=-\frac{1}{\tan t}$t für $t=k\cdot \pi$ und $t=(2k+1)\frac{\pi }{2}(k\in Z)$nicht definiert, was in Übereinstimmung mit dem Kurvenverlauf steht: Die Astroide hat in den Punkten (0; 1), (0; –1), (1; 0) und (–1; 0) „Spitzen“, sie ist dort nicht differenzierbar.

Für die zweite Ableitung y'' = f''(x) = $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}$ einer in Parameterdarstellung gegebenen Funktion y = f(x) mit x = $\varphi (t)$ und y = $\psi (t)$ gilt (in Kurzform geschrieben):
$y\text{'}\text{'}=\frac{\varphi \text{'}\cdot \psi \text{'}\text{'}-\varphi \text{'}\text{'}\cdot \psi \text{'}}{{(\varphi \text{'})}^3}$ (sofern $\varphi \text{'}(t)\ne 0$)