Differenzierbarkeit von Funktionen

Der Begriff der Differenzierbarkeit einer Funktion lässt sich folgendermaßen definieren:

• Definition:Es sei I ein offenes Intervall und $x_0\in {\rm I}.$ Eine Funktion $f\text{:}{\rm I}\to ℝ$ heißt im Punkt $x_0$ differenzierbar, wenn folgender Grenzwert existiert:
  $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\text{:}f\text{'}\left(x_0\right)$
  Dieser Grenzwert $f\text{'}\left(x_0\right)$ heißt Ableitung von f in $x_0$.

Äquivalent zu dieser Definition ist die folgende:

• Definition: Es sei I ein offenes Intervall und $x_0\in {\rm I}.$ Eine Funktion $f\text{:}{\rm I}\to ℝ$ heißt im Punkt $x_0$ differenzierbar, wenn es eine Zahl $f\text{'}\left(x_0\right)$ gibt, sodass gilt:
  $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)-f\text{'}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)}{x-x_0}=0$
  Die Zahl $f\text{'}\left(x_0\right)$ heißt Ableitung von f in $x_0$.

Im Folgenden geben wir eine geometrische Deutung der Differenzierbarkeit.
Die Gleichung $y=f\left(x_0\right)+f\text{'}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$ bestimmt eine Gerade mit der Steigung $f\text{'}\left(x_0\right)$ durch den Punkt $\left(x_0;f\left(x_0\right)\right).$ Sie heißt Tangente an den Graphen von f in $x_0$ oder in $\left(x_0;f\left(x_0\right)\right).$Differenzierbarkeit einer Funktion in $x_0$ bedeutet, dass der Graph dieser Funktion in $x_0$ eine nicht zur y-Achse parallele Tangente besitzt.

• Definition: Es sei I ein offenes Intervall und $f\text{:}{\rm I}\to ℝ$. Die Funktion f heißt in I differenzierbar, wenn sie in jedem Punkt von I differenzierbar ist.
  Die Funktion $y\text{'}=f\text{'}\left(x\right)$ die jedem $x_0\in {\rm I}$ die Ableitung $f\text{'}\left(x\right)$ zugeordnet, heißt (erste) Ableitung von f.

Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Eine Funktion kann an einer Stelle stetig, aber nicht differenzierbar sein.

• Beispiel: 1 Ein „klassisches“ Beispiel ist die Betragsfunktion $f\left(x\right)=\left|x\right|,$ die an der Stelle $x_0=0$ stetig (sie ist überall in $ℝ$ stetig), aber nicht differenzierbar ist.
  Die Nicht-Differenzierbarkeit bei 0 ist anschaulich klar: Der Graph ändert im Punkt $\left(0;0\right)$ plötzlich seine Richtung, und es gibt keine Tangente.

• Beispiel 2: Eine ähnliche plötzliche Änderung der Richtung können wir beim Graphen der folgenden Funktion im Punkt $\left(1;1\right)$ sehen:
  $f\left(x\right)=\{\begin{array}{cc}{x}^3& fürx\le 1\\ -x+2& fürx>1\end{array}$
  Wieder ist f überall stetig, aber bei $x_0=1$ nicht differenzierbar

Anmerkung (Tangente in Analysis und Geometrie):
Die Wurzelfunktion w mit $w\left(x\right)=\sqrt{x}\left(mitx\ge 0\right)$ ist in $x_0=0$ nicht differenzierbar, die Analysis liefert daher in $P\left(0;0\right)$ keine Tangente an das Schaubild von w. Aus der Anschauung (Geometrie) entnehmen wir, dass man die y-Achse in diesem Punkt als Tangente auffassen könnte. Weil die y-Achse nicht Schaubild einer linearen Funktion ist, kann sie aber nicht als Schaubild einer Tangentenfunktion gewonnen werden.

Obwohl nicht jede stetige Funktion differenzierbar ist, ist jede differenzierbare Funktion stetig.

• Satz: Wenn die Funktion f in $x_0$ differenzierbar ist, dann ist sie in $x_0$ stetig.

Der Begriff der Differenzierbarkeit ist hier nur für offene Intervalle erklärt worden, er lässt sich z.B. auf abgeschlossene Intervalle verallgemeinern. Man untersucht dann in den Randpunkte die rechts- bzw. linksseitigen Grenzwerte und spricht von rechts- bzw. linksseitigen Halbtangenten.

• Beispiel 3: Man differenziere $g\left(x\right)=\sqrt{x{\left(5-x\right)}^3}$ in $x_0=0und{x}_1=5.$

Wegen $x{\left(5-x\right)}^3\ge 0$ ist der Definitionsbereich dieser Funktion $\left[0;5\right],$ d.h., g ist nur für $0\le x\le 5$ definiert, 0 und 5 sind folglich Randpunkte. Es ist:

$\begin{array}{c}\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{g\left(x\right)-g\left(0\right)}{x-0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x{\left(5-x\right)}^3}}{x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{{\left(5-x\right)}^3}}{\sqrt{x}}=\infty \\ \underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{g\left(x\right)-g\left(5\right)}{x-5}=\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{x{\left(5-x\right)}^3}}{x-5}=\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\left(-\sqrt{x}\cdot \sqrt{\frac{{\left(5-x\right)}^3}{{\left(5-x\right)}^2}}\right)\\ =\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\left(-\sqrt{x}\cdot \sqrt{5-x}\right)=0\end{array}$

Die Funktion g ist also in 0 nicht (rechtsseitig) differenzierbar und hat dort keine Halbtangente (zumindest keine, die sich als Funktion von x schreiben lässt). In 5 ist g linksseitig differenzierbar, die Halbtangente hat die Steigung 0.