Geradenbüschel in der Ebene

Da der Punkt $P_0$ schon als Schnittpunkt von zwei Geraden eines Büschels eindeutig bestimmt ist, kann man feststellen, dass jedes Geradenbüschel der Ebene durch zwei seiner Geraden $g_{1}und{g}_2$ eindeutig festgelegt ist.

Allgemeiner formuliert gilt sogar:
Zwei Geraden der Ebene, die nicht parallel zueinander sind, bestimmen eindeutig ein Geradenbüschel.

Um eine analytische Beschreibung eines Geradenbüschels zu gewinnen, werden zunächst zwei voneinander verschiedene Geraden $g_{1}und{g}_2$ betrachtet, die durch den Punkt $P_0$ gehen. Jede dieser beiden Geraden lässt sich z. B. durch den Ortsvektor ${\overrightarrow{p}}_0$ zum Punkt $P_0$ und einen zugehörigen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ beschreiben.

Aufgrund der Eigenschaft des Skalarprodukts zweier Vektoren gilt dann:
$\begin{array}{l} g_1:\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_1=0\\ g_2:\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0\end{array}$

Jede andere Gerade g durch $P_0$ kann ebenfalls durch den Ortsvektor zu $P_0$ und einen Normalenvektor beschrieben werden. Es gilt dann:
$g:\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot \overrightarrow{n}=0$

Bedenkt man jetzt, dass $g_{1}und{g}_2$ nicht parallel zueinander sind, so sind auch die beiden Normalenvektoren ${\overrightarrow{n}}_{1}und{\overrightarrow{n}}_2$ nicht parallel zueinander bzw. sie sind linear unabhängig voneinander.

Folglich lässt sich der Vektor $\overrightarrow{n}$ als Linearkombination von ${\overrightarrow{n}}_{1}und{\overrightarrow{n}}_2$ auffassen.
Es gilt $\overrightarrow{n}=p\cdot {\overrightarrow{n}}_1+q\cdot {\overrightarrow{n}}_2,p,q\in R$, wobei p und q nicht gleichzeitig null sind.

Ersetzt man nun $\overrightarrow{n}$ durch die Linearkombination aus ${\overrightarrow{n}}_{1}und{\overrightarrow{n}}_2$ in der Gleichung von g, so erhält man:
$\begin{array}{c} \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot \left(p\cdot \overrightarrow{n}{}_1+q\cdot {\overrightarrow{n}}_2\right)=0oder\\ \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot p\cdot {\overrightarrow{n}}_1+\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot q\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0bzw.\\ p\cdot \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_1+q\cdot \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0\end{array}$

Damit lässt sich das durch $P_0$ bestimmte Geradenbüschel in der Ebene (und damit jede Gerade durch $P_0$) als eine Linearkombination der Gleichungen von zwei Geraden $g_{1}und{g}_2$ des Büschels auffassen.

• Satz: Sind $g_1:\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot \overrightarrow{n}{}_1=0und{g}_2:\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot \overrightarrow{n}{}_2=0$ zwei voneinander verschiedene Geraden durch $P_0$, so beschreibt $p\cdot \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_1+q\cdot \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_2=\mathrm{0,}(p,q\in ℝ,p,qnichtgleichzeitignull)$ das zu $P_0$ gehörende Geradenbüschel.

Beschreibt man die beiden zueinander nicht parallelen Geraden $g_{1}und{g}_2$ durch ihre Gleichungen in allgemeiner Form
$\begin{array}{c} g_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0und\\ g_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=\mathrm{0,} \end{array}$
so beschreibt in analoger Weise

das durch $g_{1}und{g}_2$ bestimmte Geradenbüschel.

Das heißt: Bei geeigneter Wahl der Parameter p und q lässt sich mit $p\cdot \left(a_{1}x+b_{1}y+c_1\right)+q\cdot \left(a_{2}x+b_{2}y+c_2\right)=0$ die Gleichung jeder Geraden durch denSchnittpunkt $P_0$ von $g_{1}und{g}_2$ beschreiben.

Bedenkt man nun, dass zur Bestimmung von $P_0$ die Gleichungen von $g_{1}und{g}_2$ als lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten aufgefasst werden können, dann bedeutet das Lösen dieses Systems jetzt: Man bestimme die Gleichungen der beiden Geraden des durch $g_{1}und{g}_2$ gebildeten Geradenbüschels, die zu den Koordinatenachsen parallel sind.

• Beispiel: Betrachtet werden die beiden Geraden mit den Gleichungen
  $g_1$: 3 x + 4y - 16 = 0 und
  $g_2$: x - 2y - 2 = 0.

Die Gleichung p ·(3x + 4y - 16) + q · (x - 2y - 2) = 0 bzw.
(3p + q) x + (4p - 2q) y - (16p + 2q) = 0 $\left(p,q\in R\right)$ (*)
beschreibt dann eine beliebige Gerade des Geradenbüschels, das durch $g_{1}und{g}_2$ aufgespannt wird.

Zur Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunktes $P_0$ von $g_{1}und{g}_2$ werden die Gleichungen der Geraden des Büschels ermittelt, die parallel zu den Koordinatenachsen sind, also Gleichungen vom Typ x = a bzw. y = b besitzen.

Die Gerade des Büschels, die zur x-Achse parallel ist, erhält man, wenn der Koeffizient von x in (*) gleich 0 ist, also 3p + q = 0 gilt. Dies ist z. B. für p = 1 und q = -3 erfüllt. Mit diesen Werten wird (*) zu 10y -10 = 0, also y = 1.

Die Gerade des Büschels, die zur y-Achse parallel ist, erhält man analog, wenn der Koeffizient von y in (*) gleich null ist, also wenn 4p - 2q = 0 gilt. Das ist z. B. für p = 1 und q = 2 erfüllt. Mit diesen Werten wird (*) zu 5x - 20 = 0, also x = 4.
Damit ist aber $P_0\left(4;1\right)$ der Schnittpunkt von $g_{1}und{g}_2$.