Gleichungen mit absoluten Beträgen

Der absolute Betrag einer Zahl a (geschrieben: $\left|a\right|$) ist bekanntlich gleich a, falls a positiv oder gleich null ist, und gleich –a, falls a negativ ist:
$\left|a\right|=\{\begin{array}{c}a,\text{falls}a\ge 0\\ -a,fallsa<0\end{array}$
Damit ist der absolute Betrag einer Zahl niemals negativ.

Die Gleichung $\left|x\right|=a$ hat für $a>0$ die Lösungen $x_1=aund{x}_2=-a,$ für $a=0$ die Lösung $x=0$ und für $a<0$ keine Lösung:
Die Gleichung $\left|x\right|=7$ hat somit die Lösungen $x_1=7und{x}_2=-7.$

Generell muss man zum Lösen von Gleichungen mit Beträgen Fallunterscheidungen vornehmen, was nachfolgend an einigen Beispielen erläutert werden soll.

Lineare Gleichungen mit absoluten Beträgen

Wir betrachten als lineare Gleichungen mit absoluten Beträgen im Folgenden Gleichungen des Typs $\left|ax+b\right|+c=0.$Beim Lösen sind folgende Fälle zu unterscheiden:

• Fall 1: $ax+b\ge 0$
  Dann erhält man $ax+b=-c,$ woraus $x=-\frac{b+c}{a}$ folgt.
• Fall 2: $ax+b<0$
  Dann erhält man $-\left(ax+b\right)=-c,$ woraus $x=\frac{c-b}{a}$ folgt.

Die Gleichung $\left|2x+3\right|=4$ hat danach die Lösungen $x_1=-\frac{3+\left(-4\right)}{2}und{x}_2=\frac{-4-3}{2}$ und damit die Lösungsmenge $L=\left\{\frac{1}{2};-\frac{7}{2}\right\}.$
Eine lineare Gleichung mit absoluten Beträgen kann also zwei Lösungen haben.

Quadratische Gleichungen mit absoluten Beträgen

Als quadratische Gleichungen mit absoluten Beträgen sollen Gleichungen der Form $\left|x^2+ax+b\right|+c=0$ untersucht werden. Beim Lösen sind folgende Fälle zu unterscheiden:

• Fall 1: $x^2+ax+b\ge 0$
  Dann gilt $x^2+ax+b+c=\mathrm{0,}$ und nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man:
  $x_{1;2}=-\frac{a}{2}\pm \sqrt{\frac{a^2}{4}-b-c}$
• Fall 2: $x^2+ax+b<0$
  Dann gilt $-\left(x^2+ax+b\right)+c=\mathrm{0,}$ und nach der Lösungsformel für quadratische Gleichungen erhält man:
  $x_{1;2}=\frac{a}{2}\pm \sqrt{\frac{a^2}{4}–b+c}$

Beispiel: Es sind die Lösungen der Gleichung $\left|x^2-6x+1\right|-8=0$ zu ermitteln.

Es sind folgende Fälle zu unterscheiden:

• Fall 1: $x^2-6x+1\ge 0$
  Man erhält $x^2-6x+1-8=\mathrm{0,}$ woraus $x_{1;2}=3\pm \sqrt{9+7}$ folgt, also ist $x_1=7und{x}_2=-1.$
• Fall 2: $x^2-6x+1<0$
  Man erhält $x^2-6x+1+8=\mathrm{0,}$ woraus $x_{3;4}=3\pm \sqrt{9–9}$ folgt, also $x_3=x_4=3.$

Die Lösungsmenge der Gleichung ist damit $L=\left\{-1;3;7\right\}.$ Es existieren genau drei Lösungen.

Die oben allgemein geführten Betrachtungen zeigen, dass eine quadratische Gleichung mit absoluten Beträgen maximal vier Lösungen haben kann. Es sind aber auch Fälle möglich, bei denen es keine Lösung gibt, oder solche mit einer Lösung, mit zwei oder mit drei Lösungen.

• Verändert man die im obigen Beispiel gegebene Gleichung $\left|x^2-6x+1\right|-8=0$ zu $\left|x^2-6x+2\right|-9=\mathrm{0,}$ so erhält man im Fall 1 wiederum $x_1=7und{x}_2=-1.$ Im zweiten Fall aber ergibt sich $x^2-6x+11=0$ und daher wegen der nunmehr negativen Diskriminate $\left(-2\right)$ keine weitere Lösung. Es gibt also nur zwei Lösungen.
• Verändert man die gegebene Gleichung $\left|x^2-6x+1\right|-8=0$ zu $\left|x^2-6x+\mathrm{0,5}\right|-\mathrm{7,5}=\mathrm{0,}$ so erhält man wiederum $x_1=7und{x}_2=-1.$ Im zweiten Fall ergeben sich nunmehr aus der Gleichung $x^2-6x+7=0$ die Lösungen $x_3=3+\sqrt{2}und{x}_4=3-\sqrt{2}.$ Es existieren also vier verschiedene Lösungen.
• Die Gleichung $\left|x^2+2x+1\right|=0$ hat eine Lösung $\left(x_1=-1\right),$ weil $x^2+2x+1={\left(x+1\right)}^2$ ist.
• Die Gleichung $\left|x^2+2x\right|+1=0$ hat keine Lösung, weil der absolute Betrag niemals negativ ist, also insbesondere auch nicht den Wert $-1$ annehmen kann.

Anmerkung: Die aus dem Fundamentalsatz der Algebra folgende Aussage, wonach eine ganzrationale Gleichung n-ten Grades im Bereich der reellen Zahlen höchstens (im Bereich der komplexen Zahlen genau) n Lösungen hat, gilt also nicht für entsprechende Gleichungen mit absoluten Beträgen.

Die Beispiele zeigen, dass man Gleichungen mit Beträgen durch Fallunterscheidungen auf „normale“ Gleichungen zurückführen kann. Auf diese lassen sich dann gegebenenfalls die bekannten Lösungsverfahren oder -strategien anwenden.
Da bei den Lösungsverfahren nicht davon ausgegangen werden kann, dass ausschließlich äquivalente Umformungen vorgenommen wurden, sind generell Proben erforderlich.