Grafisches Lösen von Gleichungen

Beispiel: Gesucht sind die Lösungen der Gleichung ${10}^{\mathrm{0,1}x}-\sin x=0$ für $x\ge 4.$

(1) Es sind die Nullstellen der Funktion $f(x)={10}^{\mathrm{0,1}x}-\sin x$ zu ermitteln.

(2) Aufstellen einer Wertetabelle z.B. für $-4<x<4$:

(3) Grafische Darstellung von f und Ablesen der Nullstelle:

(4) Wertetabelle mit verfeinerten Intervallen, z.B. für $-4<x<-3\text{:}$

(5) Grafische Darstellung von f für das Intervall $-4<x<-3$ und erneutes Ablesen der Nullstelle:

Die Lösung der Gleichung ${10}^{\mathrm{0,1}x}-\sin x=0$ im angegebenen Intervall lautet demnach näherungsweise $x\approx \mathrm{3,6.}$

Stehen elektronische Hilfsmittel wie grafikfähige Taschenrechner oder Computer mit Funktionsplotter oder Tabellenkalkulation zur Verfügung, kann die grafische Darstellung sehr schnell erfolgen.

Das Ablesen der Nullstelle geschieht dann (mitunter in grober Näherung) vom Display bzw. Bildschirm. Bei vielen Systemen verhilft eine TRACE- oder ZOOM-Funktion zu einer Lösungsangabe mit sehr guter Näherung.
(Verschiedene Graphikrechner verfügen auch über spezielle Funktionen, die die Nullstellen auf Anforderung direkt angeben.)

So kann die Funktion aus obigem Beispiel mit einem grafikfähigen Taschenrechner sehr schnell dargestellt werden. Durch Abfahren der Kurve mit dem Cursor bis zum Schnittpunkt mit der x-Achse erhält man den Näherungswert $x\approx \mathrm{3,6.}$

Variante: Lässt sich die Ausgangsfunktion in zwei bequem darstellbare Funktionen zerlegen, die (ggf. nach Umformungen) gleich sind, so werden beide Funktionen grafisch dargestellt. Die Lösungen der Ausgangsgleichung ergeben sich hierbei als Abszissenwerte der Schnittpunkte beider Graphen.

So lässt sich die Gleichung ${10}^{\mathrm{0,1}x}-\sin x=0$ zu ${10}^{\mathrm{0,1}x}=\sin x$ umformen.
Nun werden die zwei Funktionen $f(x)={10}^{\mathrm{0,1}x}undg(x)=\sin x$ grafisch dargestellt.

Auch ohne Hilfsmittel ist das (wegen der bekannten Sinusfunktion) in diesem Beispiel einfacher, als bei der ersten Variante. Die x-Koordinate des Schnittpunkts beider Graphen kann nun näherungsweise abgelesen werden. Schneller geht es auch hier mithilfe eines grafikfähigen Taschenrechners: