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  6. Integration durch Partialbruchzerlegung

Integration durch Partialbruchzerlegung

Lässt sich bei der Integration gebrochenrationaler Funktionen der Funktionsterm nicht durch eine einfache Division in eine Summe umwandeln, so kann die Integration durch Partialbruchzerlegung angewendet werden.

Ist der Integrand eine unecht gebrochenrationale Funktion, so wird diese zunächst durch Partialdivision in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion zerlegt.

Den echt gebrochenrationalen Anteil schreibt man dann mittels Partialbruchzerlegung als eine Summe einfacher Teilbrüche.

Der Lösungsansatz für die Partialbruchzerlegung ist hierbei davon abhängig, ob die Funktion im Nenner einfache oder mehrfache, reelle oder komplexe Nullstellen hat.

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Es soll hier der Fall betrachtet werden, dass die Nennerfunktion einfache oder mehrfache reelle Nullstellen besitzt.

Beispiel 1:

∫ x 3 − 5   x 2 + x + 4 x 2 − 7 x + 10   d x =

Der Integrand ist hier eine unecht gebrochenrationale Funktion. In einem solchen Fall ist die Funktion vor der Partialbruchzerlegung in eine ganzrationale Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion zu zerlegen.

Das geschieht durch Partialdivision:
           ( x 3 − 5   x 2 + x + 4 ) : ( x 2 − 7 x + 10 ) = x + 2 + 5   x − 16 x 2 − 7 x + 10 − ( x 3 − 7 x 2 + 10   x ) ¯                               2   x 2 −         9   x + 4                   − ( 2   x 2 −     14   x + 20 ) ¯                                                               5   x − 16    

Damit folgt für den angegebenen Quotienten:
x 3 − 5   x 2 + x + 4 x 2 − 7 x + 10 = x + 2 + 5   x − 16 x 2 − 7 x + 10    

Auf den echt gebrochenrationalen Anteil der Funktion wird nun folgendes Verfahren angewendet:

Die Nennerfunktion besitzt zwei reelle Nullstellen x 1 = 2 und x 2 = 5 .
Deshalb wählt man den Ansatz:
5   x − 16 x 2 − 7 x + 10 = A x − 2 + B x − 5 = A   ( x − 5 ) + B   ( x − 2 ) ( x − 2 ) ( x − 5 ) = A   x − 5 A + B   x − 2   B ( x − 2 ) ( x − 5 ) = ( A + B )   x + ( − 5   A − 2   B ) x 2 − 7   x + 10 .
Der Vergleich der Koeffizienten in den Zählern des ersten und des letzten Gliedes obigen Gesamtausdrucks führt zu dem Gleichungssystem
      A +           B = 5 5   A + 2   B = 16 ¯

mit der Lösung A = 2 und B = 3.

Somit erhält man:
∫ x 3 − 5   x 2 + x + 4 x 2 − 7 x + 10   d x = ∫ ( x + 2 )   d x + ∫ 2 x − 2   d x + ∫ 3 x − 5   d x = x 2 2 + 2   x + 2   ln |   x − 2   | + 3   ln |   x − 5   | + C

Beispiel 2:

∫ 7   x 2 − 6   x + 3 x 3 − x 2 − x + 1   d x =  

In diesem Fall hat die Nennerfunktion die einfache reelle Nullstelle x 1 = − 1 und die doppelte reelle Nullstelle x 2 / 3 = 1 .

Der Ansatz für die Partialbruchzerlegung lautet:
7   x 2 − 6   x + 3 x 3 − x 2 − x + 1 = A ( x − 1 ) 2 + B x − 1 + C x + 1 = A ( x + 1 ) + B ( x 2 − 1 ) + C ( x 2 − 2   x + 1 ) ( x − 1 ) 2 ( x + 1 ) = ( B + C )   x 2 + ( A − 2   C ) x + ( A − B + C ) ( x − 1 ) 2 ( x + 1 )

Koeffizientenvergleich führt zu dem Gleichungssystem
           B       + C = 7 A         − 2     C = − 6 A − B       + C = 3 ¯

mit der Lösung A = 2, B = 3 und C = 4.

Somit erhält man:
       ∫ 7   x 2 − 6   x + 3 x 3 − x 2 − x + 1   d x = ∫   ( 2 ( x − 1 ) 2 + 3 x − 1 + 4 x + 1 )   d x = − 2 x − 1 + 3   ln |   x − 1   | + 4   ln |   x + 1   | + C

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Integration durch Partialbruchzerlegung." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/index.php/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/integration-durch-partialbruchzerlegung (Abgerufen: 09. June 2025, 12:32 UTC)

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Partielle Integration

Im Unterschied zur Integration einer Summe von Funktionen, für die es eine einfache Integrationsregel (Summenregel) gibt, gestaltet sich das Integrieren eines Produktes von Funktionen weitaus schwieriger.
In einigen Fälle führt die Integration durch Substitution zum Ziel, doch in vielen Fällen kann man keine geeignete Substitution angeben.
Eine einfache Umkehrung der Differenziationregel für Produkte von Funktionen ist nicht möglich, jedoch bietet diese Regel den Zugang zu einem speziellen Integrationsverfahren, das auf der Produktregel der Differenzialrechnung fußt.
Es gilt die folgende Regel der partiellen Integration.

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Sind Funktionen nicht elementar integrierbar oder ist das Ermitteln von Stammfunktionen zu aufwendig, werden numerische Integrationsverfahren zur näherungsweisen Berechnung bestimmter Integrale eingesetzt.
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Um den Flächeninhalt unter dem Graphen – und damit das bestimmte Integral – einer Funktion f in einem Intervall [a; b] näherungsweise zu bestimmen, wird die Fläche durch Parallelen zur y-Achse in gleichbreite Streifen mit leicht berechenbarem Inhalt zerlegt. Die Summe der Flächeninhalte ergibt dann einen Näherungswert für das bestimmte Integral im Intervall [a; b]. Eine derartige angenäherte zahlenmäßige Berechnung eines bestimmten Integrals heißt numerische Integration.

Bernhard Riemann

* 17. September 1826 Breselenz
† 20. Juli 1866 Selasco (Italien)

BERNHARD RIEMANN lehrte als Nachfolger von GAUSS und DIRICHLET in Göttingen.
Er arbeitete speziell auf den Gebieten der Funktionentheorie, der Zahlentheorie sowie der mathematischen Physik. Die riemannsche Geometrie ist Grundlage der Differenzialgeometrie sowie der allgemeinen Relativitätstheorie.

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Für das Lösen vieler physikalischer und technischer Probleme ist es wichtig, die Koordinaten des Schwerpunktes einer Fläche zu kennen.

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