Logische Operationen mit Aussagen

Die definitorische Festlegung, also die inhaltliche Charakterisierung der Negation und der einzelnen Aussagenverknüpfungen erfolgt durch Wahrheitswertetafeln.

Negation (Verneinung) einer Aussage

Das logische Gegenteil einer Aussage A bezeichnet man als Negation (Verneinung) von A.
Man schreibt $\neg A$ und spricht hierfür nicht A.
Die Negation $\neg A$ einer Aussage A ist genau dann wahr, wenn A falsch ist.

Konjunktion (UND-Verknüpfung) von Aussagen

Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „und“ heißt Konjunktion.
Man schreibt $A\wedge B$ und spricht A und B.
Die Konjunktion $A\wedge B$ zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn sowohl A als auch B wahr ist.

Disjunktion (ODER-Verknüpfung) von Aussagen

Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „oder“ (im Sinne von „oder auch“, also im Sinne des einschließenden „oder“) heißt Disjunktion.
Man schreibt $A\vee B$ und spricht A oder B.
Die Disjunktion $A\vee B$ zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A bzw. B wahr ist.

Alternative (ENTWEDER-ODER-Verknüpfung) von Aussagen

Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „oder“ (im Sinne von „entweder – oder“, also im Sinne des ausschließenden „oder“) heißt Alternative.
Man schreibt $A\dot{\vee }B$ und spricht (entweder) A oder B.
Die Alternative $A\dot{\vee }B$ zweier Aussagen A und B ist genau dann wahr, wenn genau eine der Aussagen A bzw. B wahr ist.

Anmerkung: Die Bezeichnungsweise für die ODER- bzw. die ENTWEDER-ODER-Verknüpfung ist nicht einheitlich. Teilweise werden Disjunktion und Alternative (oder Adjunktion) genau entgegengesetzt zu dem hier verwendeten Sprachgebrauch benutzt. Mitunter verwendet man auch Disjunktion und Alternative für die ODER-Verknüpfung und gibt der ENTWEDER-ODER-Verknüpfung keinen gesonderten Namen oder nennt Letztere Kontravalenz.

Implikation (WENN-DANN-Verknüpfung) von Aussagen

Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „wenn – dann“ heißt Implikation.
Man schreibt $A\Rightarrow B$ und spricht aus A folgt B.
Die Implikation $A\Rightarrow B$ zweier Aussagen A und B ist nur dann falsch, wenn A (das Vorderglied oder die Prämisse der Implikation) wahr und B (das Hinterglied oder die Konklusion) falsch ist.

Äquivalenz (GENAU DANN, WENN-Verknüpfung) von Aussagen

Die Verknüpfung zweier Aussagen A und B durch „genau dann, wenn“ (oder „dann und nur dann, wenn“) heißt Äquivalenz.
Man schreibt $A\iff B$ und spricht A genau dann, wenn B.
Die Äquivalenz $A\iff B$ zweier Aussagen A und B ist nur dann wahr, wenn A und B denselben Wahrheitswert haben.

Anmerkung: Die Äquivalenz $A\iff B$ kann als Konjunktion zweier Implikationen aufgefasst werden: $\left(A\Rightarrow B\right)\wedge \left(B\Rightarrow A\right)$

Eine Zusammenfassung der Wahrheitswertetafeln gibt die folgende Tabelle:

Aussagenlogische Verknüpfungen, denen für alle Belegungen ihrer Teilaussagen der Wahrheitswert w zukommt, werden als Tautologien (aussagenlogische Gesetze) bezeichnet.

Beispiel 1: $\left(\left(A\Rightarrow B\right)\wedge \neg B\right)\Rightarrow \left(\neg A\right)$

Diese Aussagenverknüpfung besagt in Worten etwa das Folgende: Wenn aus Aussage A die Aussage B folgt und die Verneinung von B gilt, dann folgt aus beiden zusammen die Verneinung von A. Sie ist für alle Belegungen von A und B mit den Wahrheitswerten w bzw. f wahr, denn es gilt:

Bedeuten also etwa A: Es regnet und B: Die Straße ist nass, dann folgt aus der Konjunktion Wenn es regnet, dann ist die Straße nass und Die Straße ist nicht nass die Wahrheit von Es regnet nicht.
Allgemein formuliert: Wenn B eine notwendige Bedingung für A ist (und $A\Rightarrow B$ sagt genau dies aus, nämlich dass das Zutreffen von A immer auch das Zutreffen von B nach sich zieht, also „ohne B geht A nicht“) und B trifft nicht zu, so kann auch A nicht zutreffen.

In der gleichen Weise wie in obigem Beispiel 1 lassen sich unter Verwendung der Wahrheitswertetafeln für die einzelnen Verknüpfungen auch die Wahrheitswerte anderer Aussagenverknüpfungen bei den verschiedenen Belegungen ermitteln und ggf. deren tautologischer Charakter überprüfen.

Beispiel 2: $\left(A\wedge \left(B\vee A\right)\right)\iff A$

Für den Gesamtausdruck ergibt sich stets der Wahrheitswert w – es handelt sich um eine Tautologie.

Aussageformen lassen sich in der gleichen Weise wie Aussagen verknüpfen, wobei eine Aussage über den Wahrheitswert des Resultats allerdings erst nach Belegung oder Bindung der in den Aussageformen enthaltenen freien Variablen möglich ist. Tautologien sind hierbei besonders interessant, da der in ihnen enthaltene logische Schluss unabhängig vom Wahrheitswert der Einzelaussagen immer wahr ist.