Sätze über stetige Funktionen

Für global stetige Funktionen lassen sich mehrere „angenehme“ Eigenschaften formulieren und beweisen, so u.a. die folgenden Sätze:

1. Nullstellensatz von BOLZANO;
2. Satz über die Annahme der Zwischenwerte (Zwischenwertsatz);
3. Satz vom Minimum und Maximum (Satz von WEIERSTRASS);
4. Satz von der Stetigkeit der Umkehrfunktion

Im Folgenden sollen die ersten beiden Eigenschaften (Sätze) bewiesen werden.

Der Nullstellensatz von BOLZANO

Der nach dem böhmischen Philosophen und Logiker BERNARD BOLZANO (1781 bis 1848) benannte Nullstellensatz besagt das Folgende:

• Ist f eine im abgeschlossenen Intervall $\left[a;b\right]$ stetige Funktion und gilt $f\left(a\right)\cdot f\left(b\right)<0$, so gibt es wenigstens eine Stelle $x_0\in \left[a;b\right]$ mit $f\left(x_0\right)=0$.

Der Beweis erfolgt durch Aufbau einer Intervallschachtelung mittels fortgesetzten Halbierens (sog. weierstraßsches Halbierungsverfahren).

Es sei f im abgeschlossenen Intervall $\left[a_1;b_1\right]$ stetig und o.B.d.A. gelte $f\left(a_1\right)<0undf\left(b_1\right)>0$.

Für die Mitte $x_1$ des ersten Intervalls $\left[a_1;b_1\right]$ gilt dann $x_1=\frac{a_1+b_1}{2}$ und es ist entweder $f\left(x_1\right)=0$ oder $f\left(x_1\right)\ne 0$.

Als zweites Intervall betrachtet man jetzt dasjenige der beiden Teilintervalle, bei dem f Randwerte mit verschiedenen Vorzeichen hat. Ist $f\left(x_1\right)>0$, so wählt man als neues Intervall $\left[a_2;b_2\right]$ mit $a_2=a_{1}und{b}_2=x_1$. Ist $f\left(x_2\right)<0$, so wählt man dagegen $\left[a_2;b_2\right]$ mit $a_2=x_{1}und{b}_2=x_1$.

Verfährt man mit dem zweiten Intervall wie mit dem ersten, so kommt man entweder zu einer Nullstelle von f oder man erhält eine Folge von Intervallen (Intervallschachtelung) $I_1,I_2,I_{\mathrm{3,}}\mathrm{...,}{I}_n$ mit $I_n=\left[a_n;b_n\right]undn=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\mathrm{3,}\mathrm{...}$, die folgende Eigenschaften hat:

1. Die Folge $\left(a_n\right)$ der linken Intervallenden ist monoton steigend.
2. Die Folge $\left(b_n\right)$ der rechten Intervallenden ist monoton
   fallend.
3. Die Folge $\left(b_n-a_n\right)mit{b}_n-a_n=\frac{b_1-a_1}{2^n}$ ist eine Nullfolge.

Aus diesen Eigenschaften lässt sich weiter folgern: $a_n<b_{2}und{b}_n>a_{2}fürallen\in \mathbb{N}$, d.h., die Folgen $\left(a_n\right)$ und $\left(b_n\right)$ sind monoton und beschränkt und demzufolge konvergent.

Wegen $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(b_n-a_n\right)=0$ besitzen beide Folgen den gleichen Grenzwert $x_0$, weil (wegen der vorausgesetzten Stetigkeit von f) $\underset{a_n\to x_0}{\lim }f(a_n)=f(x_0)und\underset{b_n\to x_0}{\lim }f(b_n)=f(x_0)$ ist.

Da aber $f\left(a_n\right)<0undf\left(b_n\right)>0$ für alle $n\in \mathbb{N}$ ist, gilt $f\left(x_0\right)=0$.

Der Satz über die Annahme der Zwischenwerte

Der Zwischenwertsatz besagt Folgendes:

• Wenn f eine über dem abgeschlossenen Intervall $\left[a;b\right]$ stetige Funktion mit $f\left(a\right)\ne f\left(b\right)$ ist, dann nimmt f jeden Wert c, der zwischen den Funktionswerten $f\left(a\right)undf\left(b\right)$ liegt, mindestens einmal an.

Dieser Satz ließe sich ebenfalls mithilfe einer Intervallschachtelung beweisen. Einfacher ist es jedoch, ihn als Verallgemeinerung des Nullstellensatzes zu gewinnen.

Es ist bekannt, dass f stetig ist. O.B.d.A. sei $f\left(a\right)<f\left(b\right)$. Man wählt irgendeinen beliebigen Wert c zwischen $f\left(a\right)undf\left(b\right)$ und betrachtet die Funktion $g\left(x\right)=f\left(x\right)-c$, die durch Verschiebung um $\left|c\right|$ Einheiten in Richtung der negativen Ordinatenachse erzeugt wird.

Da f stetig ist, ist auch die so gebildete Funktion g stetig und es gilt:
$g\left(a\right)-f\left(a\right)-c<0undg\left(b\right)-f\left(b\right)-c>0$

Damit erfüllt g alle Voraussetzungen des Nullstellensatzes. Also gibt es in $\left[a;b\right]$ eine Stelle mit $x_{0}mitg\left(x_0\right)=0$, d.h. aber:
$f\left(x_0\right)-c=0bzw.f\left(x_0\right)=c$

Ohne Beweis sollen die beiden anderen oben genannten Sätze über stetige Funktionen noch mitgeteilt werden:

• Wenn f eine über dem abgeschlossenen Intervall $\left[a;b\right]$ stetige Funktion ist, dann hat f in $\left[a;b\right]$ ein Maximum und ein Minimum (Satz von WEIERSTRASS).
• Ist f eine über $D_f$ stetige und umkehrbare Funktion, dann ist auch die Umkehrfunktion $f^{-1}$ über $W_f$ stetig (Stetigkeit der Umkehrfunktion).