Uneigentliche Integrale und nicht elementar integrierbare Funktionen

Bei der Definition des Begriffs des bestimmten Integrals wird im Allgemeinen davon ausgegangen, dass die Integrandenfunktion über dem abgeschlossenen Intervall [a; b] einen kleinsten bzw. einen größten Funktionswert besitzt.
Nach einem solchen Verständnis kann das bestimmte Integral nur gebildet werden, wenn

1. der Integrationsbereich (das Integrationsintervall) [a; b] endlich und
2. der Integrand f(x) in diesem Intervall [a; b] beschränkt ist.

Ist eine dieser beiden Voraussetzungen oder sind beide zugleich nicht erfüllt, gelangt man zum sogenannten uneigentlichen Integral. Dabei lässt sich unterscheiden zwischen
(1) dem uneigentlichen Integral mit unbeschränktem Integrationsintervall und
(2) dem uneigentlichen Integral mit unbeschränktem Integranden.
Beide Fälle können auch gemeinsam auftreten.

(1) Uneigentliche Integrale mit unbeschränktem Integrationsintervall

Wird das beschränkte Integrationsintervall „geöffnet“, entstehen die Integrale
${\displaystyle \underset{a}{\overset{\infty }{\int }}f\left(x\right)}dx,{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)}dxund{\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}f\left(x\right)}dx$,
wobei f eine stetige Funktion sei.

Die Definition dieser Integrale erfolgt über die entsprechenden Grenzwerte.

• Definition: Ist f eine in jedem Intervall [a; b] $\left(b<\infty \right)$ stückweise stetige Funktion und existiert der Grenzwert
  $\underset{b\to \infty }{\lim }{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx}$,
  so bezeichnet man diesen Grenzwert als uneigentliches Integral von f im Intervall $\left[a;\infty \right[$.
  Man schreibt:
  ${\displaystyle \underset{a}{\overset{\infty }{\int }}f\left(x\right)dx=}\underset{b\to \infty }{\lim }{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx}$

Analog kann man mit den anderen beiden Integralen verfahren. Mit dieser Definition ist auch die Berechnung von uneigentlichen Integralen vorgegeben:
1. Schritt: Man berechnet das Integral ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)}dx$ für einen endlichen Bereich [a; b].
2. Schritt: Man bildet den Grenzwert für $b\to \infty$. Existiert dieser Grenzwert, so ist er der Wert des uneigentlichen Integrals.

Beispiel: Es ist das Integral ${\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-x}dx}$ zu berechnen.
1. Schritt:
${\displaystyle \underset{0}{\overset{b}{\int }}{e}^{-x}dx}={\left[-e^{-x}\right]}_0^b=-e^{-b}-\left(-e^0\right)=-e^{-b}+1$

2. Schritt:
$\begin{array}{c}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-x}dx}=\underset{b\to \infty }{\lim }{\displaystyle \underset{0}{\overset{b}{\int }}{e}^{-x}dx}\\ =\underset{b\to \infty }{\lim }\left(-e^{-b}+1\right)=1\end{array}$

Beispiele für weitere bedeutsame uneigentliche Integrale mit unbeschränktem Integrationsintervall:

1. ${\displaystyle \underset{-\infty }{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-x^2}dx}=2\text{‌}{\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }}$
   (wichtiges Integral im Zusammenhang mit der gaußschen Normalverteilung )
2. ${\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\sin x}{x}dx}=\frac{\pi }{2}$ (DIRICHLET-Integral)
3. ${\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx}=\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ (FRESNEL-Integral)
4. ${\displaystyle \underset{0}{\overset{\infty }{\int }}{t}^x{e}^{-t}dt}=\Gamma \left(x+1\right)$ (Gamma-Funktion)
   Speziell gilt:
   $\Gamma \left(n+1\right)=n!fürn\in N^{*}$
   Verallgemeinerung des Begriffs „Fakultät“: $\Gamma \left(x+1\right)=x\cdot \Gamma \left(x\right);\text{‌}\left(-\frac{1}{2}\right)!=\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi };\left(\frac{1}{2}\right)!=\Gamma \left(\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$

(2) Uneigentliche Integrale mit unbeschränktem Integranden

Liegen im Integrationsintervall [a; b] Unstetigkeitsstellen, an denen die Funktion f nicht definiert ist, so kann hier ebenfalls untersucht werden, ob sich das Integral einem Grenzwert nähert, wenn sich die Integrationsgrenzen der Polstelle nähern. Diese Grenzwerte werden dann auch hier zur Definition dieser uneigentlichen Integrale verwendet.

• Definition: Ist die Funktion f außer an der Polstelle x = c in den Teilintervallen $\left[a;c-\epsilon \right]sowie\left[c+\delta ;b\right]$ stückweise stetig und existieren die Grenzwerte
  $\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \underset{a}{\overset{c-\epsilon }{\int }}f\left(x\right)}dxund\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \underset{c+\delta }{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)}dx$,
  so bezeichnet man die Summe dieser Grenzwerte als uneigentliches Integral von f.
  Man schreibt:
  ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=}\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \underset{a}{\overset{c-\epsilon }{\int }}f\left(x\right)}dxund\underset{\delta \to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \underset{c+\delta }{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)}dx$

Funktionen, deren Integrale sich nicht durch elementare Funktionen ausdrücken lassen, werden nicht geschlossen integrierbar genannt.
Für solche Funktionen können bestimmte Integrale dann nur mithilfe von Näherungsverfahren ermittelt werden.