Arithmetische Folgen

Aus der Schulzeit des bedeutenden deutschen Mathematikers CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) ist Folgendes überliefert:
Der Lehrer, der nebenbei Imkerei betrieb, benötigte Zeit zum Einfangen eines Bienenschwarmes. Deshalb stellte er seinen Schülern der Rechenklasse eine Aufgabe, um sie hinreichend lange zu beschäftigen, sie sollten die Zahlen von 1 bis 100 addieren. Der Lehrer hatte die Aufgabe gerade formuliert und wollte gehen, da rief bereits der neunjährige GAUSS mit 5050 das richtige Ergebnis.
GAUSS hatte nicht wie seine Mitschüler brav $1+2+3+\mathrm{...}$ gerechnet, sondern einfach überlegt, dass die Summen $100+\mathrm{1,}99+\mathrm{2,}98+3$ usw. jeweils 101 ergeben und dass man genau 50 derartige Zahlenpaare bilden kann, womit sich als Ergebnis $50\cdot 101=5050$ ergibt. Damit hatte er im Prinzip die Summenformel der arithmetischen Reihe entdeckt.

Eine arithmetische Folge ist dadurch gekennzeichnet, dass die Differenz d zwischen zwei benachbarten Gliedern immer gleich ist, d. h., dass für alle Glieder der Folge gilt:
$a_n=a_{n-1}+d$

Beispiele:

$\begin{array}{l}\left(1\right)5;9;13;17;21;25;29\mathrm{...}d=4\\ \left(2\right)20;17;14;11;8;5\mathrm{...}d=-3\\ \left(3\right)\mathrm{2,1};\mathrm{2,2};\mathrm{2,3};\mathrm{2,4};\mathrm{2,5};\mathrm{2,6};\mathrm{2,7}\mathrm{...}d=\mathrm{0,1}\\ \left(4\right)1;\mathrm{0,5};0;-\mathrm{0,5};-1;-\mathrm{1,5};-2\mathrm{...}d=-\mathrm{0,5}\\ \left(5\right)6;6;6;6;6;6;6\mathrm{...}d=0\end{array}$
Durch Angabe der Differenz d und des Anfangsgliedes $a_1$ist die gesamte Folge bestimmt, denn es gilt:
$a_n=a_1+(n-1)d$

Beispiel:
Es ist das 15. Glied der Folge (1) zu berechnen.
Gegeben: $a_1=5;d=4$
Gesucht: $a_{15}$
Lösung: $a_{15}=a_1+14\cdot d=5+14\cdot 4=61$

Das interaktive Rechenbeispiel ermöglicht Berechnungen an arithmetischen Zahlenfolgen. Eine arithmetische Folge ist genau dann (streng) monoton wachsend, wenn $d>0$ ist, sie ist genau dann (streng) monoton fallend, wenn $d<0$ ist.
Für den Fall $d=0$ entsteht die konstante Folge $\left(a_n\right)=a_1;a_1;a_1\mathrm{...}$.

Bei einer arithmetischen Zahlenfolge ist jedes Glied (mit Ausnahme des Anfangsgliedes $a_1$) das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder (woraus sich auch der Name arithmetische Folge erklärt).
Beweis:
$\begin{array}{l}\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}=\frac{a_1+\left(n-2\right)d+a_1+n\cdot d}{2}\\ =\frac{2a_1+(2n-2)d}{2}=a_1+(n-1)\cdot d=a_n\end{array}$

Die Partialsummen arithmetischer Folgen lassen sich (s. einführendes Beispiel der Addition der natürlichen Zahlen von 1 bis 100) relativ einfach berechnen.
Für die n-te Partialsumme gilt:
$s_n=a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)$
Anmerkung: Man nennt $a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n$ auch arithmetische Reihe.
Die n-te Partialsumme einer arithmetischen Folge lässt sich auch direkt aus dem Anfangslied $a_1$ und der Differenz d berechnen:
$s_n=\frac{n}{2}\left[2a_1+(n-1)\cdot d\right]$

Beispiel:
Es ist die Summe $s_{19}$ der Folge (2) zu berechnen.
Gegeben: $a_1=20;d=-3$
Gesucht: $s_{19}$
Lösung: $s_{19}=\frac{19}{2}\left[2a_1+18\cdot d\right]=\frac{19}{2}\left[2\cdot 20+18\cdot (-3)\right]=\frac{19}{2}\cdot \left(-14\right)=-133$

Mithilfe der oben angegebenen Summenformel(n) für arithmetische Reihen lassen sich folgende spezielle Partialsummen angegeben:

• Summe der ersten n natürlichen Zahlen
  $1+2+3+\mathrm{...}+n=\frac{n}{2}\left(1+n\right)=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$
• Summe der ersten n geraden (natürlichen) Zahlen
  $2+4+6+\mathrm{...}+2n=\frac{n}{2}\left(2+2n\right)=n\left(n+1\right)$
• Summe der ersten n ungeraden (natürlichen) Zahlen
  $1+3+5+\mathrm{...}+(2n-1)=n^2$