Arithmetische Zahlenfolgen

Aus der Schulzeit des bedeutenden deutschen Mathematikers CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) ist folgende Anekdote überliefert:

Der Lehrer, der nebenbei Imkerei betrieb, benötigte Zeit zum Einfangen eines Bienenschwarmes. Deshalb stellte er seinen Schülern eine Aufgabe, die sie einige Zeit beschäftigen sollte. Sie sollten die Zahlen von 1 bis 100 addieren. Er hatte die Aufgabe gerade formuliert und wollte gehen, da rief bereits der neunjährige GAUSS mit 5050 das richtige Ergebnis.

GAUSS hatte nicht wie seine Mitschüler brav $1+2+3+\mathrm{...}$ gerechnet, sondern überlegt, dass $100+\mathrm{1,}99+\mathrm{2,}98+\mathrm{3,}\mathrm{...}$ stets 101 ergibt und dass man genau 50 derartige Zahlenpaaare bilden kann, womit man als Ergebnis $50\cdot 101=5050$ erhält.

Ausgehend von dieser Anekdote ergeben sich Fragestellungen wie die folgenden:

1. Wie würde das Ergebnis lauten, wenn nur die geraden Zahlen zu addieren wären?
2. Was käme heraus, wenn man eine andere Zahl als obere Grenze setzt und vielleicht nur jede dritte (siebte, 23., ...) Zahl addiert und dabei nicht immer bei 1 beginnt?

Solche Fragen (die typisch sind für das Streben der Mathematik nach Verallgemeinerungen und damit nach Lösungen, die für einen möglichst großen Bereich gelten) führen zum Begriff der arithmetischen Zahlenfolge sowie zu den Bildungsgesetzen und Partialsummen derartiger Folgen.

Eine arithmetische Zahlenfolge ist dadurch gekennzeichnet, dass die Differenz d zwischen zwei benachbarten Gliedern immer gleich ist, d.h., dass für alle Glieder der Folge gilt:
$a_n=a_{n-1}+d$

Durch Angabe der Differenz d und des Anfangsgliedes $a_1$ ist die gesamte Folge bestimmt, denn es gilt:
$a_n=a_1+(n-1)d$

• Beispiel 1:
  Gegeben: $a_1=3;d=4$
  Gesucht: $a_{27}$
  Lösung: $a_{27}=a_1+26\cdot d=3+26\cdot 4=107$

Auch durch Angabe eines beliebigen Gliedes $a_i$ und der Differenz d ist die arithmetische Folge eindeutig bestimmt.

• Beispiel 2:
  Gegeben: $a_7=33;d=5$
  Gesucht: $a_1$
  Lösung: $a_1=a_7-6\cdot d=33-30=3$

Kennt man das Anfangsglied $a_1$ und ein beliebiges anderes Glied einer arithmetischen Folge, kann man die Differenz berechnen. Es gilt:

• Beispiel 3:
  Gegeben: $a_1=\mathrm{2,5};a_9=\mathrm{12,5}$
  Gesucht: d
  Lösung: $d=\frac{a_9-a_1}{8}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}=\mathrm{1,25}$

Kennt man zwei beliebige Glieder einer arithmetischen Folge, kann man daraus das Anfangsglied $a_1$ und die Differenz d berechnen, indem das entsprechende Gleichungssystem mit zwei Unbekannten gelöst wird.

• Beispiel 4:
  Gegeben: $a_3=-3;a_8=22$
  Gesucht: $a_1$; d
  Lösung: $\begin{array}{l}\underset{¯}{\begin{array}{c}{a}_3=a_1+2d=-3\\ a_8=a_1+7d=22\end{array}}\\ 5d=25\Rightarrow d=5\\ a_1=-13\end{array}$

Eine arithmetische Folge ist genau dann monoton wachsend (steigend), wenn $d>0$ ist, sie ist genau dann monoton fallend, wenn $d<0$ ist. Für den Fall $d=0$ entsteht die konstante Folge $\left(a_n\right)=a_1;a_1;a_1;\mathrm{...}$.

• Bei einer arithmetischen Zahlenfolge ist jedes Glied (mit Ausnahme des Anfangsgliedes) das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder (woraus sich auch der Name arithmetische Folge erklärt).
  Beweis: $\begin{array}{l}\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}=\frac{a_1+\left(n-2\right)d+a_1+n\cdot d}{2}\\ =\frac{2a_1+(2n-2)d}{2}=a_1+(n-1)d=a_n\end{array}$

Die Partialsummen arithmetischer Folgen lassen sich relativ einfach mit folgenden Formeln berechnen
$s_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)$ bzw. $s_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right)$

• Beispiel 5:
  Gegeben: $a_1=1;d=23$
  Gesucht: $s_{10}$
  Lösung: $s_{10}=5\left(2\cdot 1+9\cdot 23\right)=1045$

Sind $s_n$ (und damit n) sowie $a_1$ bekannt, lässt sich die Differenz d berechnen.

• Beispiel 6:
  Gegeben: $s_{15}=\mathrm{202,5};a_1=3$
  Gesucht: d
  Lösung: $\begin{array}{l}{s}_{15}=\frac{15}{2}\left(2\cdot a_1+14d\right)\\ \mathrm{202,5}=45+105d\Rightarrow d=\mathrm{1,5}\end{array}$

Die Folge $\left(b_n\right)=1;4;9;16;25;\mathrm{...}$ ist auf den ersten Blick keine arithmetische Folge. Die Differenzen zwischen zwei benachbarten Gliedern wachsen, je größer die Glieder werden.

Betracht man aber die Folge $\left(a_n\right)$ der Differenzen, so erhält man mit $\left(a_n\right)=3;5;7;9;\mathrm{...}$ eine arithmetische Folge mit dem Anfangsglied 3 und der Differenz 2. Damit kann man das Glied $b_6$ berechnen, es gilt $b_6=b_5+a_5=25+11=36$.

Eine solche Folge (wie hier die der Quadratzahlen), bei der die Differenzen der einzelnen Glieder eine arithmetische Folge ergeben, nennt man auch eine arithmetische Folge 2. Ordnung.

Analog kann man auch arithmetische Folgen höherer Ordnung aufbauen (wie das folgende Beispiel zeigt).

• Beispiel 7:
  $\begin{array}{l}\text{Folge }1.Ordnung\left(a_n\right):2;5;8;11;\mathrm{...}\\ \text{Folge }2.Ordnung\left(b_n\right):1;3;8;16;27;\mathrm{...}\\ \text{Folge }3.Ordnung\left(c_n\right):1;2;5;13;29;56;\mathrm{...}\end{array}$