Folgen, Partialsummen

Eine Funktion, deren Defitionsbereich die Menge der natürlichen Zahlen (oder eine Teilmenge davon) ist und die eine Teilmenge der reellen Zahlen als Wertebereich besitzt, wird (reelle) Zahlenfolge genannt.

Mathematisch bedeutsam sind die sogenannten Partialsummen von Zahlenfolgen.

Die n-te Partialsumme $s_n$ einer Zahlenfolge $\left(a_n\right)$ ist die Summe der Glieder von $a_{1}bis{a}_n$ bzw. (anders geschrieben) $s_n={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a{}_i}.$

Für einige Folgen lassen sich relativ leicht Formeln zur Berechnung der Partialsummen angeben (s. auch Rechenbeispiel 1).
Wir betrachten dazu nachstehend zwei Beispiele.

Beispiel 1:
$a_n=a_{n-1}+2;a_1=2bzw.a_n=2n(n=\mathrm{1,}2;3\mathrm{...})$

Man erkennt, dass die Partialsummen mit zunehmendem n immer größer werden und schließlich über alle Grenzen wachsen:
$\begin{array}{c}{s}_1=a_1=2\\ s_2=a_1+a_2=s_1+a_2=2+4=6\\ s_3=a_1+a_2+a_3=s_2+a_3=6+6=12\\ \mathrm{...}\\ s_n=a_1+a_2+\mathrm{...}+a_n=\frac{n}{2}(2+2n)=n^2+n\end{array}$

Beispiel 2:
$a_n=\frac{a_{n-1}}{2};a_1=1bzw.a_n=\frac{1}{2^{n-1}}=2^{1-n}(n=\mathrm{1,}2;3\mathrm{...})$

In diesem Beispiel werden die Partialsummen mit zunehmendem n zwar auch immer größer, bleiben aber (wie folgende Formel zeigt) stets unter dem Wert 2:
$\begin{array}{c}{s}_1=1;s_2=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}=\mathrm{1,5};s_3=\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}=\mathrm{1,75};\\ s_4=\frac{7}{4}+\frac{1}{8}=\frac{15}{8}=\mathrm{1,875}\mathrm{...}\\ s_n=2-\frac{1}{2^{n-1}}\end{array}$

Die immer weiter fortgesetzte Partialsumme einer (unendlichen) Zahlenfolge nennt man eine (unendliche) Reihe.