Winkelhalbierende im Dreieck

Die Winkelhalbierenden halbieren die drei Innenwinkel des Dreiecks. Die drei Winkelhalbierenden schneiden einander in genau einem Punkt. Dieser Punkt ist Mittelpunkt des Kreises, der die drei Dreiecksseiten von innen berührt. Man nennt deshalb diesen Kreis den Inkreis des Dreiecks (Bild 1).

Beweis (Bild 2):

1. Jeder Punkt einer Winkelhalbierenden hat von den Schenkeln des Winkels denselben Abstand (sww).
    
2. In einem Dreieck ABC ist der Schnittpunkt W von $w_{\alpha }$ und $w_{\gamma }$ einerseits von den Seiten $\overline{AC}$ und $\overline{AB}$,
   andererseits von $\overline{BC}$ und $\overline{AC}$ gleich weit entfernt.
    
3. Also hat W von allen drei Seiten denselben Abstand, insbesondere auch von $\overline{BC}$und $\overline{AB}$.
    
4. W muss demnach auch auf $w_{\beta }$ liegen. (w. z. b. w.)

Der Inkreismittelpunkt liegt bei allen Dreiecken innerhalb der Figur.