Brechung von Licht

Brechung und Brechungsgesetz

Licht breitet sich in einem homogenen Stoff, z.B. in Luft, Wasser oder Glas, bei konstanter Temperatur geradlinig aus. Trifft es nicht senkrecht auf eine Grenzfläche zwischen zwei verschiedenen lichtdurchlässigen Stoffen, so ändert es in der Regel seine Ausbreitungsrichtung. Das Licht wird gebrochen (Bild 1).

In welcher Richtung es gebrochen wird, hängt von den jeweiligen Stoffen ab (Bild 2). Beim Übergang von einem optisch dünneren in einen optisch dichteren Stoff (z.B. Luft - Glas) wird es zum Lot hin, bei Übergang von einem optisch dichteren in einen optisch dünneren Stoff (z.B. Glas - Luft) vom Lot weg gebrochen (Bild 2). Entscheidend für das Zustandekommen der Brechung ist eine unterschiedliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes in den Stoffen, die aneinandergrenzen.
Für die Brechung von Licht an einer Grenzfläche zwischen zwei lichtdurchlässigen Stoffen gilt das Brechungsgesetz. Es wurde zuerst von WILLEBRORD SNELLIUS (1580-1626) gefunden und wird daher auch als snelliussches Brechungsgesetz bezeichnet. Es lautet:

Geht Licht von einem Stoff in einer anderen über, so gilt:
$\begin{array}{l}\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{c_1}{c_2}\text{oder}\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=n\\ \alpha \text{Einfallswinkel}\\ \beta \text{Brechungwinkel}\\ c_{\mathrm{1,}}{c}_2\text{Lichtgeschwindigkeiten in den Stoffen 1 und 2}\\ n\text{Brechzahl}\end{array}$
Dabei liegen einfallender Strahl, Einfallslot und gebrochener Strahl in einer Ebene.

Da die Brechzahl n für eine bestimmte Stoffkombination eine Konstante ist, kann man sie auch zur Kennzeichnung eines bestimmten Stoffes verwenden (Bild 3). Allerdings wäre es sehr umständlich, alle nur denkbaren Materialkombinationen gesondert zu betrachten. Deshalb hat man die Festlegung getroffen, die stoffspezifische Brechzahl n beim Übergang eines Lichtstrahls aus dem Vakuum in die betreffende Substanz zu ermitteln. Für das Vakuum gilt n = 1. Luft besitzt die Brechzahl n = 1,0003. Den winzigen Unterschied zum Vakuum kann man für die Zwecke eines Experiments in der Schule völlig vernachlässigen. Bei wissenschaftlichen Untersuchungen muss man ihn natürlich beachten.
Eine Brechzahl von 1,51 für leichtes Kronglas bedeutet dann: Der Quotient aus der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und der im Kronglas beträgt:
$\frac{c_{\text{Vakuum}}}{c_{\text{Kronglas}}}=\frac{299792\text{km/s}}{\text{199}000\text{km/s}}=\mathrm{1,506}\approx \mathrm{1,51}$
Wie die experimentelle Überprüfung zeigt, besitzen alle Stoffe Brechzahlen, die größer als 1 sind. Mithilfe des Brechungsgesetzes erkennt man sofort, was diese Feststellung für den Brechungswinkel bedeutet:

Beim Übergang vom Vakuum in einen beliebigen
Stoff ist der Einfallswinkel stets größer als der Brechungswinkel.

Bei der Angabe von Brechzahlen ist zu beachten, dass die Brechzahl von der Wellenlänge abhängig ist und auch von der Temperatur der Stoffe beeinflusst wird. Die auf Vakuum, eine Wellenlänge von 589 nm (gelbe Natriumlinien) und eine Temperatur von 20 °C bezogenen Brechzahlen für eine Reihe von Stoffen sind in Bild 3 angegeben. Es sind die Brechzahlen, die üblicherweise in Tabellenwerken zu finden sind.

Herleitung des Brechungsgesetzes aus dem fermatschen Prinzip

Das Licht wird auf dem Weg von P nach Q im Punkt F gebrochen. Die Lichtgeschwindigkeit sei im oberen Medium größer als im unteren. Damit ist die geradlinige Verbindung zwischen P und Q nicht mehr die zeitlich kürzeste. Das Licht kommt schneller ans Ziel, wenn es einen größeren Weg im Medium mit der größeren Lichtgeschwindigkeit zurücklegt. Um den Punkt F zu bestimmen, muss eine Extremwertaufgabe gelöst werden.
Die benötigte Zeit t von P nach Q setzt sich aus den Zeiten $t_1$ von P nach F und $t_2$ von F nach Q zusammen. Sie soll minimal werden. Für die Zeit ergibt sich:
$t=t_1+t_2=\frac{s_1}{c_1}+\frac{s_2}{c_2}$
Unter Anwendung des Satzes des PYTHAGORAS erhält man:

$t=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{c_1}+\frac{\sqrt{{(b-x)}^2+a^2}}{c_2}$
Wir setzen die Ableitung von t (x) gleich null.

$\begin{array}{l}t\text{'}(x)=\frac{2x}{2c_1\sqrt{x^2+a^2}}+\frac{2x-2b}{2c_2\sqrt{{(b-x)}^2+a^2}}\\ =\frac{x\cdot c_2\sqrt{{(b-x)}^2+a^2}+(x-b)\cdot c_1\sqrt{x^2+a^2}}{c_1\cdot c_2\sqrt{x^2+a^2}\cdot \sqrt{{(b-x)}^2+a^2}}=0\end{array}$

Ein Bruch ist null, wenn sein Zähler 0 ist. Also muss gelten:

$x\cdot c_2\sqrt{{(b-x)}^2+a^2}=-(x-b)\cdot c_1\sqrt{x^2+a^2}$
Quadriert man beide Seiten und beachtet, dass $-(x-b)=b-x$ ist, ergibt sich:

$x^2\cdot c_2^2\left[{(b-x)}^2+a^2\right]={(b-x)}^2\cdot c_1^2\cdot (x^2+a^2)$
Wir ersetzen nun wieder mit dem Satz des PYTHAGORAS:
$\begin{array}{l}{s}_1^2=x^2+a^2\\ s_2^2={(}^b+a^2\end{array}$

Damit erhält man:

$\begin{array}{l}{x}^2\cdot c_2^2\cdot s_2^2={(}^b{c}_1^2\cdot s_1^2\\ \frac{x^2}{s_1^2}{c}_2^2=\frac{{(b-x)}^2}{s_2^2}{c}_1^2\\ c_2^2\cdot {\sin }^2\alpha =c_1^2\cdot {\sin }^2\beta \end{array}$

Zieht man auf beiden Seiten die Wurzel, ergibt sich das Brechungsgesetz
$\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=\frac{c_1}{c_2}$

Ein besonderer Fall - kontinuierliche Brechung in Luft

Die Lichtgeschwindigkeit in einem Stoff ist z. B. auch von der Dichte abhängig. Wenn sich die Dichte von Luft deutlich ändert, so ändert sich auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht. Das ist z. B. in der Atmosphäre der Fall. Da sich dort mit der Höhe die Dichte kontinuierlich ändert, ist das auch für die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Fall. Damit tritt eine kontinuierliche Brechung auf. Das ist z. B. zu beachten, wenn man den Ort eines Sterns genau feststellen will (Bild 5). Wir sehen den Stern dort, von wo das Licht geradlinig herzukommen scheint. Das muss nicht der Ort sein, an dem sich der Stern tatsächlich befindet, da in der Lufthülle der Erde eine kontinuierliche Brechung des Lichtes erfolgt, wenn es geneigt einfällt (Bild 5).
Dieser Effekt tritt auch bei der auf- oder untergehenden Sonne auf. Wir sehen die Sonne aufgrund der Brechung des Lichtes in der Lufthülle auch dann noch, wenn sie bereits ein wenig unter dem Horizont steht. Darüber hinaus sehen wir sie gestaucht, weil sich die Brechung des Lichtes vom oberen Rand der Sonne von der vom unteren Rand der Sonne unterscheidet.
Eine solche kontinuierliche Brechung tritt auch an Grenzflächen zwischen kalter und warmer Luft auf. Solche Grenzflächen gibt es manchmal in der Atmosphäre. Man findet sie auch über von der Sonne stark erhitzten Straßen. Man spricht dann von Luftspiegelungen oder gar von einer Fata Morgana.