Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

Herleitung der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

Der Ansatzpunkt für die Herleitung ist der Zusammenhang zwischen Teilchenbewegung und Gasdruck, wobei von den folgenden vereinfachenden Annahmen ausgegangen wird:

• Betrachtet wird ein ideales Gas, bei dem nur elastische Wechselwirkungen zwischen den Teilchen bzw. zwischen Teilchen und Gefäßwänden auftreten.
• Die Teilchen haben eine durchschnittliche Geschwindigkeit v.
• Senkrecht zu jeder der sechs Flächen eines Würfels ( Bild 1) bewegen sich je 1/6 aller Teilchen. Das ist eine statistische Annahme, die an eine große Teilchenanzahl gebunden ist.
• Im Behälter mit dem Volumen V befinden sich insgesamt N Teilchen. Die Teilchenanzahldichte beträgt somit N/V. Sie kann statistisch als konstant im gesamten Raumgebiet angesehen werden.

In einem Quader der Seitenfläche A und der Länge $s=v\cdot \Delta t$(Bild 1) befindet sich dann eine Teilchenanzahl von:
$\begin{array}{l}\frac{N}{V}\cdot A\cdot v\cdot \Delta t\\ \end{array}$
Betrachten wir nur die Teilchen, die sich in Richtung Fläche A bewegen, dann sind das 1/6 der gesamten Teilchenanzahl, also:
$\frac{1}{6}\cdot \frac{N}{V}\cdot A\cdot v\cdot \Delta t$
Jedes einzelne Teilchen hat die Masse m und die Geschwindigkeit $\overrightarrow{v}$ und damit den Impuls $\overrightarrow{p}=m\cdot \overrightarrow{v}$
Nach einem geraden zentralen elastischen Stoß beträgt dieser Impuls , $-m\cdot \overrightarrow{v}$ hat also den gleichen Betrag, aber die entgegengesetzte Richtung. Der Betrag der Impulsänderung für ein Teilchen beträgt demzufolge bei der elastischen Wechselwirkung mit der Wand
$2m\cdot v.$
Betrachtet man alle Teilchen, die während des Zeitintervalls $\Delta t$ auf die Wand treffen, dann beträgt die Impulsänderung für alle diese Teilchen
$\begin{array}{l}\Delta p_i=\frac{1}{6}\cdot \frac{N}{V}\cdot A\cdot v\cdot \Delta t\cdot 2m\cdot v\text{(1)}\\ \text{Bezieht man den Zusammenhang zwischen Kraftstoß}\\ \text{und Impuls mit ein}\text{, dann gilt}F\cdot \Delta t=\Delta p_i\text{oder}\\ F=\frac{\Delta p_i}{\Delta t}\text{(2)}\\ \text{Setzt man Gleichung (1) in (2) ein}\text{, folgt:}\\ F=\frac{\frac{1}{6}\cdot \frac{N}{V}\cdot A\cdot v\cdot \Delta t\cdot 2m\cdot v}{\Delta t}\text{oder vereinfacht:}\\ F=\frac{1}{3}\cdot \frac{N}{V}\cdot A\cdot m\cdot v^2\\ \text{Die Division der Gleichung durch A ergibt:}\\ \frac{F}{A}=\frac{1}{3}\cdot \frac{N}{V}\cdot m\cdot v^2\\ \text{Der Quotient}F/A\text{ist der Druck}p,\text{sodass man auch}\\ \text{schreiben kann:}\\ p=\frac{1}{3}\cdot \frac{N}{V}\cdot m\cdot v^2\\ \text{Dafür kann man bei Multiplitation mit}\frac{\text{2}}{\text{2}}\text{auch schreiben:}\\ p=\frac{2}{3}\cdot \frac{N}{V}\cdot \frac{1}{2}m\cdot v^2\end{array}$
Der rechts stehende Term ist die kinetische Energie eines Teilchens unter der vereinfachenden Annahme, dass die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen v beträgt. Beachtet man, dass als Mittelwert der Geschwindigkeit der Teilchen der quadratische Mittelwert der Geschwindigkeit angesetzt werden muss, dann erhält man aus der zuletzt genannten Gleichung:
$p=\frac{2}{3}\cdot \frac{N}{V}\cdot \frac{1}{2}m\cdot \overline{v^2}$

Diese Gleichung wird als Grundgleichung der kinetischen Gastheorie bezeichnet und häufig in folgender Form angegeben:
$\begin{array}{l}p\cdot V=\frac{1}{3}N\cdot m\cdot \overline{v^2}\\ p\text{Druck}\\ V\text{Volumen}\\ N\text{Teilchenanzahl}\\ m\text{Masse eines Teilchens}\\ \overline{v^2}\text{mittleres Geschwindigkeitsquadrat}\end{array}$

Weitere Formen der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

Die Grundgleichung der kinetischen Gastheorie lässt sich in unterschiedlicher Weise angeben. Eine Form ist oben genannt und sei hier der Vollständigkeit halber wiederholt:
$(1)p\cdot V=\frac{1}{3}N\cdot m\cdot \overline{v^2}$

Setzt man für den Term $m\cdot \overline{v^2}=2{\overline{E}}_{\text{kin}}$ ein, so erhält man:
$\begin{array}{l}(2)p\cdot V=\frac{2}{3}N\cdot {\overline{E}}_{\text{kin}}\\ {\overline{E}}_{\text{kin}}\text{mittlere kinetische Energie}\\ \text{eines Teilchens}\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{Setzt man für die kinetische Energie eines Teilchen}\\ {\overline{E}}_{\text{kin}}=\frac{3}{2}k\cdot T,\text{so erhält man:}\\ \text{(3)}p\cdot V=N\cdot k\cdot T\\ N\text{Teilchenanzahl}\\ k\text{BOLTZMANN-Konstante}\\ T\text{absolute Temperatur}\end{array}$

Geht man von der oben genannten Gleichung (1) aus und beachtet, dass das Produkt aus Teilchenanzahl N und Masse eines Teilchens m gleich der Gesamtmasse des Gases ist, dann ist der Term
$\begin{array}{l}\frac{N\cdot m}{V}\text{gleich der Dichte}\rho \text{des Gases}\text{. Damit kann man}\\ \text{die Gleichung auch in der folgenden Form schreiben:}\\ \text{(4)}p=\frac{1}{3}\rho \cdot \overline{v^2}\\ \rho \text{Dichte des Gases}\\ \overline{v^2}\text{mittleres Geschwindigkeitsquadrat}\end{array}$

Weitere Formen erhält man, wenn man die unterschiedlichen Varianten der Zustandsgleichung des idealen Gases einbezieht, z.B.:
$p\cdot V=n\cdot R\cdot T\text{oder}p\cdot V=m\cdot R_s\cdot T.$

Zur Interpretation der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

Eine Interpretation der verschiedenen Formen der Grundgleichung der kinetischen Gastheorie ermöglicht es, wichtige Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen unter Einbeziehung kinetisch-statistischer Betrachtungen zu formulieren und damit auch besser das Wesen verschiedener physikalischer Größen zu erfassen. Das gilt insbesondere für den Druck, aber auch für die Temperatur, wenn man den oben genannten Zusammenhang zwischen mittlerer kinetischer Energie der Teilchen und der absoluten Temperatur einbezieht.

Die Variante (4) ermöglicht es auch, in einfacher Weise die durchschnittliche Geschwindigkeit von Teilchen zu berechnen:
$\begin{array}{l}\text{Aus}p=\frac{1}{3}\rho \cdot \overline{v^{\text{2}}}\\ \text{ergibt sich mit}\overline{v^{\text{2}}}\approx {\overline{v}}^2\text{die Gleichung}p=\frac{1}{3}\rho \cdot {\overline{v}}^2\\ \text{und durch Umstellung nach der mittleren Geschwindigkeit}v:\\ \overline{v}\approx \sqrt{\frac{3p}{\rho }}\\ \text{p Druck des Gases}\\ \rho \text{Dichte des Gases}\end{array}$