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Im Folgenden wird gezeigt, dass die Tangensfunktion $f\left(x\right)=\tan x$ in ihrem gesamten Definitionsbereich $\left(x\in ℝ;x\ne \frac{\pi }{2}+k\cdot \pi ;k\in \mathbb{Z}\right)$ differenzierbar ist und dort die Ableitungsfunktion $f\text{'}(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}bzw.f\text{'}(x)=1+{\tan }^{2}x$ besitzt.
Die Ableitung der Kotangensfunktion kann auf analogem Wege ermittelt werden.

Dazu betrachten wir den Graph der Tangensfunktion $f(x)=\tan x(x\in ℝ;x\ne \frac{\pi }{2}+k\cdot \pi ;k\in \mathbb{Z})$ im Intervall von 0 bis $2\pi$.

Viele periodische Vorgänge lassen sich durch Funktionen der Form $f\left(x\right)=a\cdot \sin \left(b\cdot \left(x-c\right)\right)$ beschreiben. Deren Graphen entstehen aus dem Graphen der Sinusfunktion durch Streckung (Stauchung) in Richtung der Koordinatenachsen und Verschiebung in Richtung der x-Achse, woraus sich Schlussfolgerungen für die Nullstellen ziehen lassen.
Für mit anderen Funktionen verkettete Sinus- und Kosinusfunktionen führt das Bestimmen der Nullstellen auf das Lösen goniometrischer Gleichungen.

Die bezüglich eines rechtwinkligen Dreiecks formulierten Definitionen des Sinus und des Kosinus (wie auch des Tangens und des Kotangens) eines Winkels können auf einen beliebigen Kreis oder speziell auch auf einen Einheitskreis (also einen Kreis mit dem Radius $r=1$ Längeneinheit) übertragen werden.