Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 14 Beschreibende und beurteilende Statistik
  4. 14.2 Beurteilende Statistik
  5. 14.2.3 Alternativtests
  6. Alternativtests

Alternativtests

Verteilungsannahmen (z.B. Hypothesen zu unbekannten Wahrscheinlichkeiten) über Merkmale einer zu untersuchenden Grundgesamtheit werden mithilfe statistischer Tests, sogenannten Signifikanztests, anhand konkreter Stichproben überprüft. Basis der Überprüfungen ist die Nullhypothese. Der mathematische Aufbau der Signifikanztests erfolgt so, dass genau zwei Prüfergebnisse möglich sind: Die Nullhypothese ist abzulehnen oder die Nullhypothese kann nicht abgelehnt werden.

Für den Fall, dass die Nullhypothese abzulehnen ist, legt im Allgemeinen die Alternativhypothese fest, wie das „Nichtgültigsein“ der Nullhypothese zu deuten ist. Sind in einem Test beide Hypothesen einfache Hypothesen, also durch jeweils genau einen konkreten Wert formuliert, so spricht man von einem besonderen Signifikanztest, dem Alternativtest, anderenfalls (nur) von einem (normalen) Signifikanztest.

Wegen der eindeutigen Festlegung beider Hypothesen lässt sich im ersten Fall für die Signifikanzbeurteilung sowohl der Fehler 1. Art als auch der Fehler 2. Art eindeutig berechnen.
Bei einem (normalen) Signifikanztest kann der Fehler 2. Art nicht eindeutig berechnet werden, da (zumindest) die Alternativhypothese nicht eindeutig (nicht durch genau einen Wert) festgelegt ist.

  • Definition: Ein statistischer Test auf signifikante Unterschiede (Signifikanztest), bei dem zwischen zwei einfachen Hypothesen alternativ (für den einen oder den anderen konkreten Wert) entschieden wird, heißt Alternativtest.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Im konkreten Fall ist bei der Testkonstruktion in folgenden Hauptschritten vorzugehen:

  1. Man legt fest, was als Nullhypothese und was als Alternativhypothese zu formulieren ist. Dabei ist zu beachten, in welchem Maße Vorsicht angebracht ist bzw. wo (ob) man größere Risiken eingehen darf.
  2. Man legt den Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese fest und ermittelt daraus das zugehörige Signifikanzniveau (also den Fehler 1. Art) und den Fehler 2. Art.

Oder: Man geht man von einem vorgegebenen Signifikanzniveau aus und bestimmt daraus den zugehörigen Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese sowie den Fehler 2. Art.

Für die Wahrscheinlichkeit der beiden Fehler bei festgelegtem Annahme- bzw. Ablehnungsbereich für die Nullhypothese gelten folgende Aussagen:

Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art

Die summierte Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereiches einer Nullhypothese ( H 0 :       p = p 0 ) unter der Bedingung X ∼ B n   ;     p 0 ist als Maß dafür anzusehen, wie wahrscheinlich es ist, einen Fehler 1. Art zu begehen. Mit dieser Wahrscheinlichkeit wird die in Wirklichkeit wahre Nullhypothese irrtümlich abgelehnt.
Es gilt: α = P ( A ¯ p 0 ) = B   n   ;     p 0 ( A ¯ )   = 1 − B   n   ;     p 0 ( A )

Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art

Die summierte Wahrscheinlichkeit des Annahmebereiches einer Nullhypothese ( H 0 :       p = p 0 ) unter der Bedingung X ∼ B n   ;     p 1 ist als Maß dafür anzusehen, wie wahrscheinlich es ist, einen Fehler 2. Art ( β -Fehler) zu begehen. Mit dieser Wahrscheinlichkeit wird die in Wirklichkeit falsche Nullhypothese irrtümlich nicht abgelehnt.
Es gilt: β = P ( A p 1 ) = B   n   ;     p 1 ( A )   = 1 − B   n   ;     p 1 ( A ¯ )

Für einen festen Stichprobenumfang n lässt sich feststellen:

  1. Je kleiner man den Ablehnungsbereich A ¯ wählt, desto kleiner wird auch die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art.
  2. Je kleiner man den Annahmebereich A wählt, desto kleiner wird die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art.
  3. Bei festen Werten für p 0 (Nullhypothese) und p 1 (Alternativhypothese) bewirkt jede Verkleinerung der Wahrscheinlichkeit α eine Vergrößerung der Wahrscheinlichkeit β .

In Abhängigkeit vom konkreten Sachverhalt ist abzuwägen, für welchen Fehler die Wahrscheinlichkeit möglichst klein bleiben soll. Müssen möglichst beide Wahrscheinlichkeiten für Fehlentscheidungen klein bleiben, dann ist dies nur mit einer Vergrößerung des Stichprobenumfangs erreichbar.

Dabei gilt: Vergrößert man den Stichprobenumfang n, so wird die Summe der Wahrscheinlichkeiten für die Fehler 1. und 2. Art verkleinert. Die Sicherheit für die zu treffende Entscheidung wächst.

Geht man umgekehrt von einem vorgegebenen Signifikanzniveau α aus und bestimmt daraus den zugehörigen Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese, so ist noch die Unterscheidung zwischen einem (einseitigen) rechtsseitigen Alternativtest und einem (einseitigen) linksseitigen Alternativtest zu beachten:

Ein (einseitig) rechtsseitiger Test ist angebracht, wenn große Werte von X gegen die Nullhypothese H 0 somit für die Alternativhypothese H   1 sprechen. Gilt für die Zufallsgröße X also X = { 0   ;     1   ;     ...   ;     k − 1   ;     k   ;     k + 1   ;     ...   ;     n − 1   ;     n } , so ist der Ablehnungsbereich A ¯ = {   k   ;     k + 1   ;     ...   ;     n − 1   ;     n } .

Beim (einseitigen) linksseitigen Test (kleine Werte von X sprechen gegen die Nullhypothese H 0 und somit für die Alternativhypothese H   1 ) wäre der Ablehnungsbereich A ¯ = {   0   ;     1   ;     ...   ;     k − 1   ;     k } .

Ermitteln des kritischen Werts X = k bei vorgegebenem Signifikanzniveau α

(Einseitiger) rechtsseitiger Alternativtest:
Bei vorgegebenem α -Wert ist k als diejenige kleinste ganze Zahl zu ermitteln, für die gilt:
P ( A ¯ p 0 ) = P ( X ≥ k ) = B   n   ;     p 0 ( {   k   ;     k + 1   ;     ...   ;     n − 1   ;     n } ) = 1 − B   n   ;     p 0 ( { 0   ;     1   ;     ...   ;     k − 1 } ) ≤ α
(Im Allgemeinen wird mit der Beziehung B   n   ;     p 0 ( { 0   ;     1   ;     ...   ;     k − 1 } ) ≥ 1 − α gearbeitet.)

(Einseitiger) linksseitiger Alternativtest:
Bei vorgegebenem α -Wert ist k als diejenige größte ganze Zahl zu ermitteln, für die gilt:
P ( A ¯ p 0 ) = P ( X ≤ k ) = B   n   ;     p 0 ( { 0   ;     1   ;     ...   ;     k − 1   ;     k   } ) ≤ α

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Alternativtests." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/alternativtests (Abgerufen: 20. May 2025, 16:18 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • einfache Hypothese
  • Alternativtest
  • Nullhypothese
  • kritischer Wert
  • Fehler 1. Art
  • Signifikanztest
  • einseitiger Alternativtest
  • Fehler 2. Art
  • Ablehnungsbereich
  • Alternativhypothese
  • Stichprobenumfang
  • rechtsseitiger Alternativtest
  • linksseitiger Alternativtest
  • Signifikanzniveau
  • Annahmebereich
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Beispiel eines Alternativtests

Statistische Untersuchungen wie zum Beispiel ein Alternativtest werden für die Qualitätskontrolle eingesetzt.
Bei der Testkonstruktion ist in folgenden Hauptschritten vorzugehen:

  1. Man legt fest, was als Nullhypothese und was als Alternativhypothese zu formulieren ist. Dabei ist zu beachten, in welchem Maße Vorsicht angebracht ist bzw. wo (ob) man größere Risiken eingehen darf.
  2. Man legt den Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese fest und ermittelt daraus das zugehörige Signifikanzniveau (also den Fehler 1. Art) und den Fehler 2. Art.

Alternativ geht man von einem vorgegebenen Signifikanzniveau aus und bestimmt daraus den zugehörigen Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese sowie den Fehler 2. Art.

Signifikanztests

  • Definition: Ein statistischer Test auf signifikante Unterschiede (Signifikanztest), bei dem auf Stichprobenbasis über die Beibehaltung der (einfachen oder zusammengesetzten) Nullhypothese H 0 oder deren Ablehnung entschieden wird, heißt normaler Signifikanztest, kurz: Signifikanztest.

Bei einem Alternativtest sind zwei (im Allgemeinen einfache) Hypothesen gegeben, von denen eine – in Abhängigkeit von der praktischen Bedeutsamkeit des Fehlers 1. Art – als Nullhypothese gewählt wird. Im Gegensatz dazu ist bei einem Signifikanztest nur eine (einfache oder zusammengesetzte) Hypothese gegeben. Als Nullhypothese wird die gegebene Hypothese oder – falls möglich und mit Blick auf die Bedeutsamkeit des Fehlers 1. Art – ihre Verneinung (Negation) gewählt.

Wahrscheinlichkeit, Testen

Hier kannst du dich selbst testen. So kannst du dich gezielt auf Prüfungen und Klausuren vorbereiten oder deine Lernerfolge kontrollieren.

Multiple-Choice-Test zum Thema "Mathematik - Testen einer unbekannten Wahrscheinlichkeit".

Viel Spaß beim Beantworten der Fragen!

WISSENSTEST

Beispiel eines Signifikanztests

Ein statistischer Test (auf signifikante Unterschiede), bei dem auf Stichprobenbasis über die Beibehaltung der (einfachen oder zusammengesetzten) Nullhypothese H 0 oder deren Ablehnung entschieden wird, heißt normaler Signifikanztest, kurz: Signifikanztest.
Während bei einem Alternativtest zwei (im Allgemeinen einfache) Hypothesen gegeben sind, von denen man eine – in Abhängigkeit von der praktischen Bedeutsamkeit des Fehlers 1. Art – als Nullhypothese wählt, ist bei einem Signifikanztest nur eine (einfache oder zusammengesetzte) Hypothese gegeben. Als Nullhypothese wird die gegebene Hypothese oder ihre Verneinung (Negation) gewählt – in Abhängigkeit davon, bei welcher von beiden der Fehler 1. Art bezüglich des vorliegenden konkreten Sachverhalts von größerer Bedeutung ist als der (im Allgemeinen nicht eindeutig zu berechnende) Fehler 2. Art.

In den folgenden Beispielen werden typische Entscheidungsfragen untersucht, für deren prüfstatistische Absicherung Signifikanztest üblich sind.

Boxplots

Unter Boxplots oder Kastenschaubildern versteht man eine Form der grafischen Darstellung von Häufigkeitsverteilungen, in der neben dem Median als Bezugspunkte außerdem der größte und der kleinste Ausprägungswert sowie die Quartile (Viertelwerte) vermerkt sind.

Die Boxplotdarstellung ist ein gutes Hilfsmittel für den Vergleich von Verteilungen, da man erkennt, welchen Bereich (welche Spannweite) die ermittelten Daten einnehmen, ob die Verteilung bezüglich des Medians symmetrisch, rechts- oder linksschief ist usw.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025