Direkt zum Inhalt

Pfadnavigation

  1. Startseite
  2. Mathematik Abitur
  3. 1 Denk- und Arbeitsweisen der Mathematik
  4. 1.2 Grundbegriffe der Mathematik
  5. 1.2.2 Logische Operationen mit Aussagen und Aussageformen
  6. Aussageformen

Aussageformen

Unter einer Aussageform versteht man eine sinnvolle sprachliche Äußerung mit mindestens einer freien Variablen, die zur Aussage wird, wenn man für die freien Variablen die Namen von Objekten (Elementen) aus dem Grundbereich G einsetzt oder die freie(n) Variable(n) durch Formulierungen wie „für alle Objekte (Elemente) aus G gilt ...“ oder „es gibt Objekte (Elemente) aus G, für die gilt ...“ bindet.
Als Kurzschreibweise für eine Aussageform mit der (den) freien Variablen x oder x und y usw. wird häufig H ( x ) bzw. H ( x ;   y ) usw. verwendet.

Schule wird easy mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.
Jetzt 30 Tage risikofrei testen
Your browser does not support the video tag.

Aussagen sind sinnvolle sprachliche Äußerungen bzw. entsprechenden Zeichenreihen, die entweder wahr oder falsch sind.

Betrachtet man im Vergleich hierzu sprachliche Gebilde wie

  • x ist größer als 2,
  • x sitzt neben y,
  • x ist nicht durch y teilbar,

so stellt man fest, dass diese zwar im grammatikalischen Sinne Sätze sind und eine gewisse „äußerliche“ Ähnlichkeit mit Aussagen besitzen, aber nicht als wahr oder falsch bezeichnet werden können und deshalb eben keine Aussagen sind.

Der Grund hierfür ist: Jeder dieser Sätze enthält „freie“ Variable und muss daher – wie der bedeutende englische Mathematiker und Philosoph BERTRAND RUSSELL (1872 bis 1969) einmal bemerkte – als bloßes Schema aufgefasst werden, nur als Schale, als leeres Gefäß für eine Bedeutung, nicht als etwas an sich Sinnvolles (B. RUSSELL in „Einführung in die mathematische Philosophie“).

Aussagen entstehen aus den obigen Sätzen offenbar erst dann, wenn man den in ihnen auftretenden freien Variablen eine bestimmte Bedeutung gibt, d.h., wenn man diesen Variablen ein Objekt aus einem geeigneten Grundbereich G zuordnet (man sagt auch: die Variablen belegt) bzw. – auf der „Zeichenebene“ gesprochen – wenn man anstelle der Zeichen für die (freien) Variablen die Namen oder Zeichen von bestimmten Objekten aus G einsetzt.

Anmerkung: Handelt es sich bei G um eine Menge (wovon nachfolgend ausgegangen werden soll), so können wir auch gleich von den Elementen aus G sprechen.

Durch diese Variablenbelegung entstehen aus obigen Sätzen (sprachlichen Gebilden) beispielsweise die folgenden Aussagen:

  • 3 ist größer als 2 (bei Grundbereich G = ℕ ).
  • Jonas sitzt neben Anton (wenn der Grundbereich z.B. die Schüler einer bestimmten Klasse sind).
  • 6 ist nicht durch 4 teilbar (bei Grundbereich G = ℕ ).

Eine zweite Möglichkeit der Überführung obiger Sätze (sprachlicher Gebilde) in Aussagen besteht darin, die „freien“ (also mit beliebigen Objekten aus dem jeweiligen Grundbereich belegbaren) Variablen durch bestimmte generalisierende Formulierungen an einen bestimmten Grundbereich zu binden, eine Variablenbindung vorzunehmen. Solche Formulierungen sind z.B. (nicht) für alle Elemente aus G gilt ..., es gibt ein Element (keine Elemente) aus G, für das (die) gilt ... o.Ä.

Auf die einleitend angegebenen sprachlichen Gebilde bezogen ließen sich so z.B. folgende Aussagen formulieren:

  • Nicht für alle Primzahlen (also alle Elemente x aus der Menge der Primzahlen) gilt:
    x ist größer als 2.
  • Es gibt zwei Schüler x und y (aus einer bestimmten Klasse), für die gilt:
    x sitzt neben y.
  • Für alle verschiedenen Elemente x und y aus der Menge der Primzahlen gilt:
    x ist nicht durch y teilbar.

Natürlich wäre beispielsweise auch der Satz Für alle Elemente x aus ℕ gilt: x ist größer als 2 eine Aussage, allerdings eine falsche.

Ausgehend von obigen Überlegungen wird vereinbart:
Unter einer Aussageform versteht man eine sinnvolle sprachliche Äußerung mit mindestens einer freien Variablen, die zur Aussage wird, wenn man

  • für die freien Variablen die Namen von Objekten (Elementen) aus dem Grundbereich G einsetzt oder
  • die freie(n) Variable(n) durch Formulierungen wie für alle Objekte (Elemente) aus G gilt ... oder es gibt Objekte (Elemente) aus G, für die gilt ... bindet.

Als Kurzschreibweise für eine Aussageform mit der (den) freien Variablen x oder x und y usw. wird häufig H ( x ) bzw. H ( x ;   y ) usw. verwendet.

Aussagen, die durch Variablenbindung mittels für alle ... oder es gibt ... aus Aussageformen entstehen, werden All- bzw. Existenzialaussagen genannt.
Den Alloperator „für alle ...“ bzw. den Existenzialoperator „es gibt ...“ kennzeichnet man häufig durch abkürzende Symbole: Anstatt für alle x schreibt man ∀ ( x ) und für es gibt ein x dann ∃ ( x ) .

Beide Operatoren können auch gekoppelt auftreten, z.B.:
  ∀ ( x ) ∃ ( x ) ( x < y   u n d   x ,   y ∈ ℕ )

Diese Zeichenreihe ließe sich dann in ausführlicher Sprechweise etwa folgendermaßen formulieren: Für alle natürlichen Zahlen x gibt es eine natürliche Zahl y, die größer als x ist.

Geht durch Einsetzen von Namen von Objekten (Elementen) aus dem Grundbereich G für die Variable(n) eine Aussageform in eine wahre Aussage über, so sagt man, dass diese Elemente die Aussageform erfüllen.

Anmerkung: Zur Vereinfachung sagt man auch: Für die Variablen werden Objekte (Elemente) aus G eingesetzt.

Hinsichtlich der Beziehungen zwischen einer Aussageform und den Elementen ihres Grundbereichs G sind drei Fälle zu unterscheiden:

  • Kein Element aus G erfüllt die Aussageform – die Aussageform ist über G unerfüllbar (nicht erfüllbar, kontradiktorisch).
    Beispiel: Die Aussageformen H ( x ) :     x 2 < x oder H ( x ,   y ) :     x + y + 1 = 0 sind über G = ℕ unerfüllbar.
  • Mindestens ein Element aus G, aber nicht alle Elemente erfüllen die Aussageform – die Aussageform ist über G erfüllbar.
    Beispiel: Die Aussageformen H ( x ) :     x 2 < x 3 oder H ( x ,   y ) :     x y = y x sind über G = ℝ erfüllbar.
  • Alle Element aus G erfüllen die Aussageform – die Aussageform ist über G allgemeingültig (und damit natürlich erst recht erfüllbar).
    Beispiel: Die Aussageformen H ( x ) :     x 2 ≥ 0 oder H ( x ,   y ) :     ( x + y ) 2 = x 2 + 2 x y + y 2 sind über G = ℝ allgemeingültig.

Bereits die obigen Beispiele zeigen, dass es nur bei Angabe des jeweiligen Grundbereichs sinnvoll ist, eine Aussageform als erfüllbar (eb), allgemeingültig (ag) bzw. unerfüllbar (ub) zu bezeichnen. Dies verdeutlichen auch noch einmal die auf verschiedene Zahlenmengen als Grundbereiche (natürliche Zahlen ℕ , ganze Zahlen ℤ , rationale Zahlen ℚ , reelle Zahlen ℝ ) bezogenen nachfolgenden Beispiele.

Aussageform ℕ ℤ ℚ ℝ
2 x ≥ x agebebeb
x 2 ≥ x agagebeb
4 x 2 − 4 x + 1 = 0 ububebeb
x 2 + 5 x + 6 = 0 ubebebeb
x 2 + x + 4 = 0 ubububub
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Aussageformen." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/aussageformen (Abgerufen: 20. May 2025, 18:32 UTC)

Suche nach passenden Schlagwörtern

  • Aussagen
  • Russell
  • Variablenbindung
  • freie Variable
  • Zeichenreihen
  • es gibt ein
  • erfüllen
  • Generalisierungen
  • Existenzialaussagen
  • Grundbereich
  • Existenzaussagen
  • Allaussagen
  • Für alle
Jetzt durchstarten

Lernblockade und Hausaufgabenstress?

Entspannt durch die Schule mit KI-Tutor Kim und Duden Learnattack.

  • Kim hat in Deutsch, Mathe, Englisch und 6 weiteren Schulfächern immer eine von Lehrkräften geprüfte Erklärung, Video oder Übung parat.
  • 24/7 auf Learnattack.de und WhatsApp mit Bildupload und Sprachnachrichten verfügbar. Ideal, um bei den Hausaufgaben und beim Lernen von Fremdsprachen zu unterstützen.
  • Viel günstiger als andere Nachhilfe und schützt deine Daten.

Verwandte Artikel

Logische Operationen mit Aussagen

Aussagen können negiert oder durch aussagenlogische Operationen (Konjunktion, Disjunktion, Alternative, Implikation, Äquivalenz) miteinander verknüpft werden.
Der Wahrheitswert einer negierten oder zusammengesetzten Aussage hängt dabei ausschließlich vom Wahrheitswert der Ausgangsaussage bzw. der verknüpften Teilaussagen ab.

Axiomensysteme

Durch Axiomensysteme werden mathematische Begriffe mithilfe einer Reihe von einfachen Festlegungen, die man Axiome nennt, charakterisiert.
An ein mathematisches Axiomensystem werden eine Reihe von Bedingungen gestellt. So sollte es z.B. widerspruchsfrei sein.

Antinomien der Mengenlehre

Einer der wichtigsten Grundbegriffe der Mathematik ist der Begriff der Menge. Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung bestimmter real existierender oder gedachter Objekte aus einem vorgegebenen oder ausgewählten Grundbereich zu einem Ganzen. Die einzelnen Objekte werden Elemente der Menge genannt.

Das Zulassen aller denkbaren Zusammenfassungen als Mengen kann zu Widersprüchen führen, auf die BERTRAND RUSSELL (1872 bis 1970) aufmerksam machte und die deshalb auch russellsche Antinomien genannt werden.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege

* 08.11.1848 Wismar
† 26.07.1925 Bad Kleinen

GOTTLOB FREGE arbeitete an der Universität Jena. Er war maßgeblich an der Schaffung von Grundlagen der Logik beteiligt, wobei er an Ideen des englischen Mathematikers GEORGE BOOLE anknüpfte. FREGES Ideen wiederum waren Grundlage für GIUSEPPE PEANO und BERTRAND RUSSELL.

Physik und Mathematik

Die uns geläufige Art, physikalische Gesetze mathematisch zu formulieren, war vor 400 Jahren noch nicht bekannt. Exakte Naturwissenschaft wurde aber erst durch die Mathematik möglich. Damit eng verbunden ist die Entwicklung der Ansicht über Naturgesetze überhaupt.
Der deutsche Astronom und Mathematiker JOHANNES KEPLER (1571 bis 1630) war einer der ersten Forscher, der Naturgesetze als mathematische Gleichungen dargestellt hat und der fest an die Einfachheit und Harmonie der Natur glaubte. Eine Auffassung, dass die von ihm und anderen entdeckten Gesetze nur zeitbedingte Gültigkeit hätten, war für ihn unannehmbar. Als leidenschaftlicher Realist glaubte er, Gott habe die Welt unter Verwendung bestimmter Grundmuster geschaffen, die es auch im menschlichen Geist geben müsse. Daraus resultierte seine unerschütterliche Überzeugung, dass wir die uns umgebende Welt verstehen können.

Ein Angebot von

Footer

  • Impressum
  • Sicherheit & Datenschutz
  • AGB
© Duden Learnattack GmbH, 2025