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Boxplots

Unter Boxplots oder Kastenschaubildern versteht man eine Form der grafischen Darstellung von Häufigkeitsverteilungen, in der neben dem Median als Bezugspunkte außerdem der größte und der kleinste Ausprägungswert sowie die Quartile (Viertelwerte) vermerkt sind.

Die Boxplotdarstellung ist ein gutes Hilfsmittel für den Vergleich von Verteilungen, da man erkennt, welchen Bereich (welche Spannweite) die ermittelten Daten einnehmen, ob die Verteilung bezüglich des Medians symmetrisch, rechts- oder linksschief ist usw.

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Unter dem 1. Quartil versteht man einen Wert, vor dem mindestens 25   % und nach dem höchstens 75   % der Werte der Urliste liegen; als 3. Quartil bezeichnet man einen Wert, vor dem mindestens 75   % und nach dem höchstens 25   % der Werte der Urliste liegen.

Die Boxplotdarstellung ist ein gutes Hilfsmittel für den Vergleich von Verteilungen, da man zum Beispiel erkennt, welchen Bereich (welche Spannweite) die ermittelten Daten einnehmen, ob die Verteilung bezüglich des Medians symmetrisch, rechts- oder linksschief ist.

Ein Boxplot entsteht wie folgt:
Auf einer Zahlengeraden werden dazu die entsprechenden Werte der zu untersuchenden Zufallsgröße markiert. Über dieser Geraden zeichnet man dann ein vom unteren bis zum oberen Viertelwert reichendes Rechteck (eine Box) und kennzeichnet darin den Zentralwert x ˜ n durch einen senkrechten Strich.

Die außerhalb dieses Rechtecks liegenden extremen Beobachtungswerte x min und x max werden durch Kreuze markiert. Mitunter werden links und rechts vom Kasten noch Linien gezeichnet, welche die Verteilung außerhalb des Kastens andeuten. Im Allgemeinen werden diese Linien so lang gewählt, dass jeweils nicht mehr als 10   % der Daten außerhalb liegen.

  • Boxplot

Beispiel: Ein Institut beschäftigt 11 Mitarbeiter, deren Gehaltsverteilung aus folgender Tabelle ersichtlich ist:

Anzahl der
Mitarbeiter
213311
Gehalt
in Euro
180020002200250032007500

Um eine Boxplot-Darstellung der Häufigkeitsverteilung zu erhalten, geht man etwa in folgenden Schritten vor:

(1) Ordnen der Werte und Kennzeichnen der fünf Lageparameter

Bild

(2) Festlegen eines geeigneten Maßstabs und Darstellen im Boxplot

Bild

Der „Kasten“ (die „Box“) wird längs einer Zahlengeraden als ein vom 1. bis zum 3. Quartil reichendes Rechteck gezeichnet, in dem der Median (Zentralwert) durch einen senkrechten Strich gekennzeichnet ist. Den maximalen und den minimalen Wert gibt man durch Punkte oder Kreuze auf der Zahlengeraden an.

Die Darstellung macht deutlich (was im vorliegenden einfachen Fall zwar bereits aus der Tabelle erkennbar, bei einem großen Datenumfang aber wesentlich schwerer zu übersehen ist): Die Gehaltsverteilung ist sehr unausgeglichen – bedingt durch den „Ausreißerwert“ 7500 Euro ist der Abstand von 3. Quartil zum Maximum sehr groß. Die Mehrheit der Gehälter und auch der Median drängen sich auf dem relativ kleinen und sehr niedrigen Intervall von 2000 bis 2500 Euro zusammen.

Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Boxplots." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/boxplots (Abgerufen: 20. May 2025, 05:12 UTC)

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Grundfrage und Grundbegriffe statistischer Erhebungen

Basis einer statistischen Erhebung ist eine Menge von Objekten, von denen ein Merkmal oder mehrere Merkmale (Merkmalskombinationen) untersucht werden.

Beispiel eines Alternativtests

Statistische Untersuchungen wie zum Beispiel ein Alternativtest werden für die Qualitätskontrolle eingesetzt.
Bei der Testkonstruktion ist in folgenden Hauptschritten vorzugehen:

  1. Man legt fest, was als Nullhypothese und was als Alternativhypothese zu formulieren ist. Dabei ist zu beachten, in welchem Maße Vorsicht angebracht ist bzw. wo (ob) man größere Risiken eingehen darf.
  2. Man legt den Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese fest und ermittelt daraus das zugehörige Signifikanzniveau (also den Fehler 1. Art) und den Fehler 2. Art.

Alternativ geht man von einem vorgegebenen Signifikanzniveau aus und bestimmt daraus den zugehörigen Annahme- bzw. den Ablehnungsbereich für die Nullhypothese sowie den Fehler 2. Art.

Alternativtests

Verteilungsannahmen (z.B. Hypothesen zu unbekannten Wahrscheinlichkeiten) über Merkmale einer zu untersuchenden Grundgesamtheit werden mithilfe statistischer Tests, sogenannten Signifikanztests, anhand konkreter Stichproben überprüft. Basis der Überprüfungen ist die Nullhypothese. Der mathematische Aufbau der Signifikanztests erfolgt so, dass genau zwei Prüfergebnisse möglich sind: Die Nullhypothese ist abzulehnen oder die Nullhypothese kann nicht abgelehnt werden.

Für den Fall, dass die Nullhypothese abzulehnen ist, legt im Allgemeinen die Alternativhypothese fest, wie das „Nichtgültigsein“ der Nullhypothese zu deuten ist. Sind in einem Test beide Hypothesen einfache Hypothesen, also durch jeweils genau einen konkreten Wert formuliert, so spricht man von einem besonderen Signifikanztest, dem Alternativtest, anderenfalls (nur) von einem (normalen) Signifikanztest.

Wegen der eindeutigen Festlegung beider Hypothesen lässt sich im ersten Fall für die Signifikanzbeurteilung sowohl der Fehler 1. Art als auch der Fehler 2. Art eindeutig berechnen.
Bei einem (normalen) Signifikanztest kann der Fehler 2. Art nicht eindeutig berechnet werden, da (zumindest) die Alternativhypothese nicht eindeutig (nicht durch genau einen Wert) festgelegt ist.

  • Definition: Ein statistischer Test auf signifikante Unterschiede (Signifikanztest), bei dem zwischen zwei einfachen Hypothesen alternativ (für den einen oder den anderen konkreten Wert) entschieden wird, heißt Alternativtest.
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