Diophantos von Alexandria

Zur Person

Wann DIOPHANTOS VON ALEXANDRIA, wie sein voller Name oft angeben wird, eigentlich gelebt hat, ist uns unbekannt. Man ist auf Vermutungen angewiesen, die sich aus Vergleichen ergeben und kommt dabei auf einen Zeitraum zwischen 150 und 350.

Mit einiger Sicherheit weiß man dagegen, wie alt er geworden ist, und das verdanken wir einer Grabinschrift, die in Hexametern verfasst ist:

Hier dies Grabmal deckt Diophantos. Schaut das Wunder!
Durch des Entschlafenen Kunst lehret sein Alter der Stein.
Knabe zu sein gewährte Gott ihm ein Sechstel des Lebens.
Noch ein Zwölftel dazu sprosst' auf der Wange der Bart.
Dazu ein Siebentel noch, da schloss er das Bündnis der Ehe;
nach fünf Jahren entsprang aus der Verbindung ein Sohn.
Wehe, das Kind das geliebte, gerade die Hälfte der Jahre hatt' es des Vaters erreicht, als es dem Schicksal erlag.
Darauf vier Jahre hindurch durch der Größen Betrachtung den Kummer von sich scheuchend auch er kam an das irdische Ziel.

Aus diesem Text gelangt man über die lineare Gleichung$x=\frac{x}{6}+\frac{x}{12}+\frac{x}{7}+5+\frac{x}{2}+4$ zu dem Ergebnis, dass DIOPHANT 84 Jahre alt geworden ist. Zugleich aber wird durch die Fassung dieser Inschrift sinnreich auf sein Wirken hingewiesen.

DIOPHANT – einer der Begründer der Algebra

Die griechischen Mathematiker vor Beginn unserer Zeitrechnung widmeten sich der Geometrie. Selbst arithmetische Probleme nahmen sie oft mit geometrischen Mitteln in Angriff. Am Ausgang der Antike begegnet uns mit DIOPHANT zum ersten Mal ein mit der Algebra verbundener Mathematiker, und man darf ihn als einen der Begründer dieser Disziplin ansehen.

Sein Hauptwerk ist die „Arithmetica“; sie bestand wahrscheinlich aus 13 Büchern, von denen sechs erhalten geblieben sind. DIOPHANT übernimmt darin vieles an Verfahren (ja sogar an Aufgaben) von den babylonischen Mathematikern, doch ordnet und ergänzt er es, sodass seine Werke über Jahrhunderte hinweg auch für bedeutende Mathematiker eine Grundlage ihrer Studien waren.

DIOPHANTS Ziel ist es, darzulegen, wie man zu Problemen Gleichungen aufstellt und mit deren Hilfe diese Probleme löst. Dabei gibt er einige Verfahrensregeln an, so z.B. etliche, die wir heute als Verfahren äquivalenter Umformungen benutzen (etwa Subtraktion der gleichen Zahl auf beiden Seiten der Gleichung) und schafft somit Ansätze eines Lösungskalküls. Im Allgemeinen aber beschränkt er sich auf Beispielaufgaben und -lösungen, und das oft an recht komplizierten Problemen, die schon den Charakter von Denkaufgaben haben. Bei alldem beweist DIOPHANT eine virtuose Rechentechnik, und oft bleibt dem Leser verborgen, was ihn zu dieser oder jener Verfahrensweise bewogen hat.

Beweis zahlentheoretischer Sätze

DIOPHANT beschäftigte sich mit Problemen der Zahlentheorie und gibt eine Reihe zahlentheoretischer Sätze an, beweist sie und demonstriert sie an Aufgaben. So nennt er etwa den folgenden Satz:

• Jede Quadratzahl lässt sich als Summe von zwei Quadraten (rationaler Zahlen) schreiben.

Am Beispiel der Zahl 16 zeigt DIOPHANT hierzu folgenden Lösungsweg:
Die erste gesuchte Zahl sei x; dann ist die andere $16-x^2.$ Letzteres wird ${\left(2x-4\right)}^2$ gleichgesetzt (2x wird als beliebiges Vielfaches von x gewählt, 4 ist die Wurzel aus der Ausgangszahl 16). Aus der Gleichung ${\text{4x}}^{\text{2}}-16x+16=16-x^2$ gewinnt er $x=\frac{16}{5}$ und als zweiten Summanden $\frac{12}{5}.$
Tatsächlich ist ${\left(\frac{16}{5}\right)}^2+{\left(\frac{12}{5}\right)}^2=\frac{400}{25}=16.$
(Hätte er statt 2x in der Klammer 3x gewählt, hätte er als Summanden $\frac{24}{10}und\frac{32}{10}$ erhalten.)

Es war dies übrigens die Stelle von DIOPHANTS Buch, die PIERRE DE FERMAT später bewog, in sein Exemplar den berühmten Vermerk über die Nichterfüllbarkeit der Gleichung $a^n+b^n=c^n$ für natürliche Zahlen a, b, c und natürliche Exponenten n (mit n > 2) zu machen.

DIOPHANT löst außer den linearen auch quadratische Gleichungen und hantiert mit negativen Zahlen, wobei er als Lösung dann nur positive Ergebnisse angibt. Er nutzt bereits Regeln wie „Minus mal Minus ergibt Plus“. Ganz zwangsläufig entsteht bei dieser Arbeit eine Reihe von Zeichen, Symbolen und Schreibweisen, mit denen er bemüht ist, die Rechnungen übersichtlich zu gestalten.

Für einfache Zahlen benutzt DIOPHANT die Buchstaben des griechischen Alphabets mit einem Querstrich, so ist bei ihm $\overline{\alpha }=\mathrm{1,}\overline{\beta }=2und\overline{\gamma }=3usw.$

Zahlen, die addiert werden sollen, schreibt er einfach nebeneinander, für die Subtraktion führt er ein besonderes Zeichen $(\uparrow )$ ein.

Außerdem benutzt er Zeichen für Potenzen, ${\kappa }^{\overline{\gamma }}$ bedeutet beispielsweise $x^3$.

Die Gleichheit drückt er durch den griechischen Buchstaben $\iota$ (von isoi, griech. gleich) aus. Er führt zahlreiche Begriffe (wie etwa Quadratzahl, Kubikzahl, Biquadratzahl) ein, und gibt auch dafür Symbole an.

Diophantische Gleichungen

Den Namen DIOPHANTS tragen die sogenannten diophantischen Gleichungen. Das sind Gleichungen oder Gleichungssysteme, bei denen die Anzahl der Unbekannten größer ist als die Zahl der Gleichungen, die Anzahl der Lösungen jedoch durch Nebenbedingungen (positive oder natürliche Zahlen) begrenzt wird.
Als Beispiel dafür diene folgende (moderne) Aufgabe:

• Für genau 100 Euro sollen genau 100 Geschenke gekauft werden, und zwar solche zu zehn Euro, solche zu zwei Euro und solche zu einem halben Euro.
  Wie viele Geschenke von den einzelnen Sorten sind zu kaufen?

Nachdem zunächst zwei Gleichungen durch Substitution auf eine zurückgeführt sind, erhält man aus $19x+3y=100$ genau zwei Tripel, nämlich (1; 27; 72) und (4; 8; 88) als einzige Lösungen. Bei solchen Gleichungen benutzte DIOPHANT oft Kettenbrüche, mit denen er auch irrationale Zahlen näherungsweise errechnete.