Ebenenbüschel im Raum

Da die Gerade $g_0$ schon als Schnittgerade von zwei Ebenen des Büschels eindeutig bestimmt ist, kann man sagen, dass jedes Ebenenbüschel im Raum durch zwei seiner Ebenen ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ eindeutig bestimmt ist.

Allgemeiner lässt sich sogar feststellen, dass zwei nicht zueinander parallele Ebenen im Raum ein Ebenenbüschel eindeutig bestimmen, da diese beiden Ebenen einander stets in einer Geraden schneiden.

Um eine analytische Beschreibung eines Ebenenbüschels zu gewinnen, werden zwei voneinander verschiedene Ebenen ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ betrachtet, die beide die Gerade $g_0$ enthalten. Jede dieser beiden Ebenen lässt sich z.B. durch den Ortsvektor ${\overrightarrow{p}}_0$ zu einem Stützpunkt $P_0$ von $g_0$ und einen zugehörigen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ beschreiben.

Es ist dann ${\epsilon }_1:\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_1=0und{\epsilon }_2:\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0$

Jede andere Ebene $\epsilon$, die $g_0$ enthält, enthält auch $P_0$ und kann ebenfalls durch den Ortsvektor zu $P_0$ und einen Normalenvektor beschrieben werden. Es gilt dann:
$\epsilon :\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot \overrightarrow{n}=0$

Weil ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ nicht parallel zueinander sind, sind auch $\overrightarrow{n}{}_{1}und\overrightarrow{n}{}_2$ nicht parallel zueinander, d.h., die beiden Normalenvektoren sind linear unabhängig voneinander.

Darüber hinaus sind die Vektoren ${\overrightarrow{n}}_1,\overrightarrow{n}{}_{2}und\overrightarrow{n}$ jeweils senkrecht zu $g_0$ und liegen folglich in einer (zu $g_0$ senkrechten) gemeinsamen Ebene. Damit lässt sich der Vektor $\overrightarrow{n}$ als Linearkombination von $\overrightarrow{n}{}_{1}und\overrightarrow{n}{}_2$ auffassen:
$\overrightarrow{n}=p\cdot {\overrightarrow{n}}_1+q\cdot {\overrightarrow{n}}_2,p,q\in ℝ,pundqnichtgleichzeitignull$

Unter Verwendung dieses Resultats erhält man aus der obigen Gleichung von $\epsilon$:
$\begin{array}{c} \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot \left(p\cdot {\overrightarrow{n}}_1+q\cdot {\overrightarrow{n}}_2\right)=0oder\\ \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot p\cdot {\overrightarrow{n}}_1+\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot q\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0bzw.\\ p\cdot \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_1+q\cdot \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0\\ \end{array}$

Damit lässt sich das durch $g_0$ bestimmte Ebenenbüschel im Raum und damit jede Ebene, die $g_0$ enthält, als eine Linearkombination der Gleichungen von zwei Ebenen ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ des Büschels auffassen.

• Satz: Sind ${\epsilon }_1:\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_1=0und{\epsilon }_2:\left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0$ zwei voneinander verschiedene Ebenen, die die Gerade $g_0$ mit dem Stützpunkt $P_0$ enthalten, so beschreibt
  $p\cdot \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_1+q\cdot \left(\overrightarrow{x}-{\overrightarrow{p}}_0\right)\cdot {\overrightarrow{n}}_2=0(p,q\in ℝ,p,qnichtgleichzeitignull)$
  das zu $g_0$ gehörende Ebenenbüschel.

Kennzeichnet man die beiden zueinander nicht parallelen Ebenen ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ durch ihre Gleichungen in allgemeiner Form, also
$\begin{array}{l} {\epsilon }_1:a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1=0und\\ {\epsilon }_2:a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2=\mathrm{0,} \end{array}$
so beschreibt in analoger Weise

das durch ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ bestimmte Ebenenbüschel.

Damit kann man bei geeigneter Wahl von p und q mit
$p\cdot \left(a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1\right)+q\cdot \left(a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2\right)=0$
die Gleichung jeder Ebene beschreiben, die die Schnittgerade von ${\epsilon }_{1}und{\epsilon }_2$ mit dem Stützpunkt $P_0$ enthält.