Geradenbündel im Raum

Im Unterschied zu einem Geradenbüschel, einem Ebenenbüschel oder einem Ebenenbündel lässt sich ein Geradenbündel im Raum analytisch nicht als Linearkombination der Gleichungen von Geraden des Bündels durch $P_0$ beschreiben.

Ein Grund hierfür ist, dass sich Geraden im Raum analytisch nicht durch einen Punkt $P_0$ und einen Normalenvektor eindeutig beschreiben lassen.

Eine analytische Beschreibung von Geraden im Raum ist aber z. B. durch eine Punktrichtungsgleichung in vektorieller Schreibweise möglich:
$g:\overrightarrow{x}={\overrightarrow{p}}_0+t\overrightarrow{a}$

Betrachten wir nun die Gleichungen von zwei voneinander verschiedenen Geraden $g_{1}und{g}_2$ des Raumes, die durch $P_0$ gehen. Gilt
$g_1:\overrightarrow{x}={\overrightarrow{p}}_0+t{\overrightarrow{a}}_{1}und{g}_2:\overrightarrow{x}={\overrightarrow{p}}_0+t{\overrightarrow{a}}_2,$

so beschreibt
$g:\overrightarrow{x}={\overrightarrow{p}}_0+t\left(p{\overrightarrow{a}}_1+q{\overrightarrow{a}}_2\right),p,q\in ℝ,p,qnichtgleichzeitig0;t\in ℝ$
alle Geraden durch $P_0$, die in der von $g_{1}und{g}_2$ aufgespannten Ebene liegen.

Nimmt man noch eine dritte Gerade $g_3:\overrightarrow{x}={\overrightarrow{p}}_0+t{\overrightarrow{a}}_3$ hinzu, die durch $P_0$ geht und die nicht in der von $g_{1}und{g}_2$ aufgespannten Ebene liegt, so ist $\{{\overrightarrow{a}}_1,{\overrightarrow{a}}_2,{\overrightarrow{a}}_3\}$ ein System linear unabhängiger Vektoren.

Damit beschreibt aber
$\begin{array}{l} g:\overrightarrow{x}={\overrightarrow{p}}_0+t\left(p{\overrightarrow{a}}_1+q{\overrightarrow{a}}_2+r{\overrightarrow{a}}_3\right),\\ (p,q,r\in R,p,q,rnichtgleichzeitig0;t\in R) \end{array}$
jede Gerade des Raumes durch $P_0$ und damit auch das Geradenbündel durch $P_0$.

• Satz: Ist $\{{\overrightarrow{a}}_1,{\overrightarrow{a}}_2,{\overrightarrow{a}}_3\}$ ein System linear unabhängiger Richtungsvektoren von drei Geraden eines Bündels, so beschreibt
  $\begin{array}{l}g:\overrightarrow{x}={\overrightarrow{p}}_0+t\left(p{\overrightarrow{a}}_1+q{\overrightarrow{a}}_2+r{\overrightarrow{a}}_3\right),\\ (p,q,r\in R,p,q,rnichtgleichzeitig0;t\in R)\end{array}$
  jede Gerade des Raumes $P_0$ durch und damit auch das Geradenbündel durch $P_0$.