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Grafische Darstellung von Daten

Für die grafische Veranschaulichung von Daten, die durch statistische Untersuchungen gewonnen wurden, nutzt man verschiedene Möglichkeiten, die in starkem Maße durch den Charakter der darzustellenden Daten (quantitative oder qualitative Merkmale, diskrete oder stetige quantitative Merkmale usw.) bestimmt werden.
Wichtige Darstellungsarten sind Stängel-Blatt-Diagramme, Stabdiagramme (auch Strecken- oder Balkendiagramme), Blockdiagramme (Streifendiagramme), Kreisdiagramme, Histogramme (Säulendiagramme) und Polygonzüge.

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Stängel-Blatt-Diagramme

Bei einem Stängel-Blatt-Diagramm erfolgt auf der Grundlage einer Klassenbildung eine Aufspaltung der Daten in einen „Stamm“ und ein „Blatt“ (einseitiges Stängel-Blatt-Diagramm) oder zwei „Blätter" (zweiseitiges Stängel-Blatt-Diagramm).

Dabei werden auf dem „Stamm“ (in der Regel vertikal) die ersten (für eine Gruppe von folgenden Daten übereinstimmenden) Ziffern aufgeschrieben und auf den sich nach rechts oder/und links anschließenden „Blättern“ die folgenden Ziffern. Es handelt sich hierbei um ein „halbgrafisches“ Verfahren, da die Daten (also Zahlen) selbst Aufnahme in die grafische Darstellung finden und durch ihre Anordnung eine Veranschaulichung erfolgt, jedoch keine Umsetzung der Daten in Strecken, Flächen, Kurvenzüge o.Ä. vorgenommen wird.

Stängel-Blatt-Diagramme wurden 1977 von dem amerikanischen Statistiker JOHN TUKEY (1915 bis 2000), dem Begründer der sogenannten explorativen Datenanalyse, für die visuelle Darstellung von Daten vorgeschlagen.

Beispiel 1: Bei einer Gruppe von 50 Mädchen und 50 Jungen unterschiedlichen Alters wurden in ungeordneter Reihenfolge die Körpergrößen (auf Zentimeter genau) gemessen. Die Daten lagen in einem Bereich von etwa 130 cm bis über 200 cm.

Bild

Auf dem „Stamm“ tragen wir in diesem Falle die Zahlen 13 bis 20 (also die „Zehner“) und auf den Blättern die jeweils dritte Ziffer (also die „Einer“) ein, und zwar nach links die Mädchengrößen und nach rechts die Jungengrößen.

Das kleinste Mädchen hätte also eine Größe von 139 cm, die Größen der vier kleinsten Jungen betrugen (in der Reihenfolge der Messung) 148 cm, 149 cm, 147 cm bzw.149 cm.

Ist der Datenbereich vergleichsweise groß und ist man nicht an der Reihenfolge interessiert, in welcher die Daten erhoben wurden, so kann die Anfertigung eines Stängel-Blatt-Diagramms bereits während der Datenermittlung erfolgen.

Stabdiagramme

Stabdiagramme (auch Streckendiagramme) werden zur grafischen Veranschaulichung von absoluten oder relativen Häufigkeiten qualitativer oder diskreter quantitativer Merkmale verwendet.

Auf einer der beiden hierzu verwendeten Achsen (meist der horizontalen) trägt man dabei die Ausprägungen des betrachteten Merkmals, in Richtung der zweiten Achse die Häufigkeiten deren Auftretens ab. Die Stab- oder Streckenlänge gibt also die Häufigkeit der jeweiligen Merkmalsausprägung an.

Mitunter nutzt man anstelle von Strecken aus optischen Gründen auch Rechtecke gleicher Breite, was zu Balkendiagrammen führt.

Beispiel 2: Aus den Wahlergebnissen die einzelnen Parteien ergibt sich die Sitzverteilung im Parlament. Die aktuelle Verteilung der insgesamt 200 Sitze möge folgendes Aussehen haben:

Bild

In der folgenden Abbildung ist das zugehörige Stab- bzw. Balkendiagramm dargestellt.

  • Stab- und Balkendiagramm

Blockdiagramme

Zur grafischen Veranschaulichung von absoluten oder relativen Häufigkeiten qualitativer oder diskreter quantitativer Merkmale werden auch Blockdiagramme (manchmal Streifendiagramme genannt) verwendet.

Die Gesamtfläche entspricht dabei der Gesamtanzahl (bzw. 100   % ) der erfassten Merkmalsausprägungen ihrer jeweiligen Vielfachheit. Der Flächeninhalt eines Teilrechtecks kennzeichnet die (absolute oder relative) Häufigkeit der dargestellten Merkmalsausprägung (wobei hier die Teilrechtecke immer dieselbe „Höhe“ haben).

Auf den im obigen 2. Beispiel beschriebenen Sachverhalt bezogen erhält man die folgende Darstellung:

Bild

Kreisdiagramme

Für die grafische Veranschaulichung der Häufigkeitsverteilung bei qualitativen oder diskreten quantitativen Merkmalen werden auch Kreisdiagramme genutzt.

Der absoluten (oder relativen) Häufigkeit der jeweiligen Merkmalsausprägung entspricht hier der Flächeninhalt des zugehörigen Kreissektors. Dabei ist für die Merkmalsausprägung a i       ( i = 1 ;     2 ;     ... ;     m ) ein Sektor mit dem Winkel α i = 360   ° ⋅ h n ( { a i } ) zu wählen, wie die folgende Abbildung zeigt.

Bild

Histogramme

Für die Veranschaulichung von in Klassen eingeteilten Ausprägungen quantitativer Merkmale werden Histogramme ( Säulendiagramme) verwendet.

Hierzu markiert man auf der horizontalen Achse die Klassen K i von Merkmalsausprägungen und trägt die Klassenmitten x i ein. Über jeder Klasse wird dann ein Rechteck (eine Säule) gezeichnet, das (die) bei gleicher Breite 1 aller Klassenintervalle die Höhe H   n ( { K i } )       b z w .       h   n ( { K i } ) besitzt und jeweils unmittelbar an das Nachbarrechteck anschließt.

Werden für die einzelnen Klassen unterschiedliche Breiten B ( K i ) gewählt, so ist als Höhe des Rechtecks der Wert
H   n ( { K i } ) B ( K i )       b z w .       h   n ( { K i } ) B ( K i )
zu wählen. In diesem Fall entspricht nicht die Höhe, sondern der Flächeninhalt des Rechtecks der jeweiligen absoluten bzw. relativen Häufigkeit.

Wir verwenden den im 1. Beispiel dargestellten Sachverhalt und wählen als einheitliche Klassenbreite jeweils B = 10. Dann erhält man (auf das „Mädchen-Blatt“ bezogen) folgende absolute Häufigkeiten H 50 ( { K i } ) :

Bild

Die Werte H 50 ( { K i } ) entsprechen jeweils den Rechteckhöhen in der folgenden Abbildung:

Bild

Würde man für die Intervalle [130; 140[, [140; 150[, [150; 160[ und [190; 200[ wegen der geringen „Besetzung“ beispielsweise als Klassenbreite nur die Hälfte der Klassenbreiten der anderen Intervalle wählen, so wären als Rechteckhöhen für die sieben Intervalle die Werte 2, 8, 12, 11, 15, 10, 6 zu verwenden.

Bild

Eine solche Darstellung erschwert allerdings den Überblick und kann bei flüchtiger Betrachtung sogar zu Fehleinschätzungen führen.

Polygonzug

Vom Histogramm kann man zu einem Polygonzug übergehen, indem man die Mittelpunkte der oberen Rechteckseiten durch Strecken verbindet.

Dies ist offenbar nur dann sinnvoll, wenn sich dem Abszissenwert jedes Punktes des Polygonzuges auch eine Merkmalsausprägung zuordnen lässt, wenn es sich also um ein stetiges quantitatives Merkmal handelt.

  • Histogramm mit eingezeichnetem Polygonzug
Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH): "Grafische Darstellung von Daten." In: Lernhelfer (Duden Learnattack GmbH). URL: http://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/grafische-darstellung-von-daten (Abgerufen: 02. July 2025, 14:05 UTC)

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Hypothesen und Entscheidungsfehler

Beurteilende Statistik setzt quantitatives Beschreiben von Grundgesamtheiten bzw. Stichproben voraus. Begründete Vermutungen über stochastische Eigenschaften von Grundgesamtheiten nennt man Hypothesen. Auf der Grundlage statistischer Tests wird entschieden, ob die zu überprüfende Hypothese abzulehnen (zu verwerfen) ist oder nicht.

Beispiel eines Signifikanztests

Ein statistischer Test (auf signifikante Unterschiede), bei dem auf Stichprobenbasis über die Beibehaltung der (einfachen oder zusammengesetzten) Nullhypothese H 0 oder deren Ablehnung entschieden wird, heißt normaler Signifikanztest, kurz: Signifikanztest.
Während bei einem Alternativtest zwei (im Allgemeinen einfache) Hypothesen gegeben sind, von denen man eine – in Abhängigkeit von der praktischen Bedeutsamkeit des Fehlers 1. Art – als Nullhypothese wählt, ist bei einem Signifikanztest nur eine (einfache oder zusammengesetzte) Hypothese gegeben. Als Nullhypothese wird die gegebene Hypothese oder ihre Verneinung (Negation) gewählt – in Abhängigkeit davon, bei welcher von beiden der Fehler 1. Art bezüglich des vorliegenden konkreten Sachverhalts von größerer Bedeutung ist als der (im Allgemeinen nicht eindeutig zu berechnende) Fehler 2. Art.

In den folgenden Beispielen werden typische Entscheidungsfragen untersucht, für deren prüfstatistische Absicherung Signifikanztest üblich sind.

Signifikanztests

  • Definition: Ein statistischer Test auf signifikante Unterschiede (Signifikanztest), bei dem auf Stichprobenbasis über die Beibehaltung der (einfachen oder zusammengesetzten) Nullhypothese H 0 oder deren Ablehnung entschieden wird, heißt normaler Signifikanztest, kurz: Signifikanztest.

Bei einem Alternativtest sind zwei (im Allgemeinen einfache) Hypothesen gegeben, von denen eine – in Abhängigkeit von der praktischen Bedeutsamkeit des Fehlers 1. Art – als Nullhypothese gewählt wird. Im Gegensatz dazu ist bei einem Signifikanztest nur eine (einfache oder zusammengesetzte) Hypothese gegeben. Als Nullhypothese wird die gegebene Hypothese oder – falls möglich und mit Blick auf die Bedeutsamkeit des Fehlers 1. Art – ihre Verneinung (Negation) gewählt.

Zusammensetzung von Stichproben

Wird aus einer Grundgesamtheit „auf gut Glück“ eine (Teil-)Menge mit n Elementen ausgewählt, so handelt es sich dabei um eine sogenannte Stichprobe. Die Anzahl n der Elemente gibt den Umfang der Stichprobe, den Stichprobenumfang an. Jedes einzelne Element der Stichprobe heißt Stichprobenwert.

Man kann auch sagen: In einer Stichprobe werden n-mal wiederholte Beobachtungen ein und derselben Zufallsgröße zusammengefasst.

Variieren die Beobachtungsergebnisse in nicht vorhersagbarer Weise (Zufälligkeit der Beobachtungsergebnisse) und beeinflussen sie einander nicht, sind sie also unabhängig voneinander, so hebt man dies gelegentlich durch die Verwendung des Begriffes Zufallsstichprobe besonders hervor.

Unabhängigkeit der Beobachtungsergebnisse heißt also: Unabhängig davon, welche Elemente zuvor bereits für die Stichprobe „auf gut Glück“ ausgewählt worden sind, kann anschließend jedes Element der Grundgesamtheit mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden.

Als häufige Auswahlformen von (Zufalls-)Stichproben seien die Klumpenstichprobe und die (proportional) geschichtete Stichprobe genannt.

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